什么是斜渐近线（倾斜渐近线）？
斜渐近线是一条非水平的直线，当 \(x\) 趋向正无穷或负无穷时，有理函数会越来越靠近这条直线。它只在分子的次数恰好比分母高一次时才会出现。本计算器处理最常见的情形——二次分子除以一次分母，即 \(f(x) = \dfrac{\text{a}_2 x^2 + \text{a}_1 x + \text{a}_0}{\text{b}_1 x + \text{b}_0}\)。
使用方法
依次填入分子的三个系数（\(\text{a}_2\)、\(\text{a}_1\)、\(\text{a}_0\)）和分母的两个系数（\(\text{b}_1\)、\(\text{b}_0\)）。工具会自动完成多项式长除法，并以 \(y = mx + c\) 的形式给出斜渐近线方程，同时单独列出斜率与截距。随着 \(x\) 不断增大，余数项会趋于零，因此真正决定这条直线的只有商式部分。
公式详解
用 \(\text{a}_2 x^2 + \text{a}_1 x + \text{a}_0\) 除以 \(\text{b}_1 x + \text{b}_0\)，得到的商为 \(m x + c\)，再加上一个以分母为底的余数。比较最高次项可知斜率 \(m = \dfrac{\text{a}_2}{\text{b}_1}\)。把它代回去，截距 \(c = \dfrac{\text{a}_1 - m\cdot\text{b}_0}{\text{b}_1}\)。于是斜渐近线就是 $$y = mx + c$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= \dfrac{\text{a}_2}{\text{b}_1} \\ c &= \dfrac{\text{a}_1 - m\cdot\text{b}_0}{\text{b}_1} \end{aligned} \right.$$
实例演算
取 \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x - 1}\)，即 \(\text{a}_2 = 1\)、\(\text{a}_1 = 3\)、\(\text{a}_0 = 2\)、\(\text{b}_1 = 1\)、\(\text{b}_0 = -1\)。斜率 \(m = \dfrac{1}{1} = 1\)；截距 \(c = \dfrac{3 - 1\times(-1)}{1} = 4\)。因此斜渐近线为 $$y = x + 4$$ （用长除法验算，确实得到 \(x + 4\)，余数为 \(6\)。）
常见问题
什么时候才存在斜渐近线？ 只有当分子的次数恰好比分母高一次时才存在。如果两者次数相等，得到的就是水平渐近线，而不是斜渐近线。
如果 \(\text{b}_1\) 等于零会怎样？ 那么分母就不再是一次式，这种形式的斜渐近线也就不存在了，因此计算器要求 \(\text{b}_1\) 不能为零。
余数重要吗？ 不重要——当 \(x\) 趋于无穷时余数项会消失，所以它不会影响渐近线本身，只会影响曲线在有限 \(x\) 附近的形状。
