Qu'est-ce qu'une asymptote oblique ?
Une asymptote oblique est une droite non horizontale dont une fonction rationnelle se rapproche lorsque x tend vers plus ou moins l'infini. Elle n'apparaît que lorsque le degré du numérateur dépasse exactement d'une unité celui du dénominateur. Ce calculateur traite le cas le plus courant : un numérateur du second degré divisé par un dénominateur du premier degré, soit \(f(x) = \dfrac{a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_1 x + b_0}\).
Comment l'utiliser
Renseignez les trois coefficients du numérateur (a2, a1, a0) puis les deux coefficients du dénominateur (b1, b0). L'outil effectue la division euclidienne des polynômes et vous renvoie l'équation de l'asymptote oblique sous la forme \(y = mx + c\), accompagnée des valeurs séparées de la pente et de l'ordonnée à l'origine. Le reste de la division tend vers zéro quand x grandit : seul le quotient définit donc la droite.
La formule en détail
En divisant \(a_2 x^2 + a_1 x + a_0\) par \(b_1 x + b_0\), on obtient un quotient \(mx + c\), plus un reste divisé par le dénominateur. En identifiant les termes de plus haut degré, la pente vaut \(m = \dfrac{a_2}{b_1}\). En reportant cette valeur, l'ordonnée à l'origine est \(c = \dfrac{a_1 - m \cdot b_0}{b_1}\). L'asymptote oblique s'écrit donc :
$$\begin{gathered} y = mx + c \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= \dfrac{\text{a}_2}{\text{b}_1} \\ c &= \dfrac{\text{a}_1 - m\cdot\text{b}_0}{\text{b}_1} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple résolu
Prenons \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x - 1}\), c'est-à-dire \(a_2 = 1\), \(a_1 = 3\), \(a_0 = 2\), \(b_1 = 1\), \(b_0 = -1\). La pente \(m = \dfrac{1}{1} = 1\). L'ordonnée à l'origine :
$$c = \frac{3 - 1 \times (-1)}{1} = 4$$L'asymptote oblique est donc \(y = x + 4\). (De fait, la division euclidienne donne bien \(x + 4\), avec un reste de 6.)
Questions fréquentes
Quand existe-t-il une asymptote oblique ? Uniquement lorsque le degré du numérateur dépasse d'exactement une unité celui du dénominateur. S'ils sont égaux, on obtient plutôt une asymptote horizontale.
Que se passe-t-il si b1 vaut zéro ? Le dénominateur n'est alors plus du premier degré et aucune asymptote oblique de cette forme n'existe ; le calculateur exige donc un b1 non nul.
Le reste a-t-il une importance ? Non : le terme correspondant au reste s'annule quand x tend vers l'infini. Il n'influence donc pas la droite asymptote, seulement l'allure de la courbe autour des valeurs finies de x.
