Qu'est-ce qu'une asymptote verticale ?
Une asymptote verticale est une droite verticale d'équation \(x = a\) dont le graphe d'une fonction se rapproche sans jamais la toucher : à proximité, la valeur de la fonction file vers plus ou moins l'infini. Pour une fonction rationnelle \(f(x) = N(x) / D(x)\), les asymptotes verticales apparaissent aux valeurs de \(x\) qui annulent le dénominateur — à condition que le numérateur ne s'annule pas lui aussi en ces points (sinon, on est en présence d'un trou, c'est-à-dire d'une discontinuité éliminable). Ce calculateur se concentre sur le dénominateur, considéré comme un polynôme de degré 1 ou 2 de la forme \(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c\).
Comment utiliser ce calculateur
Écrivez votre fonction sous forme de fraction et repérez le dénominateur. Saisissez ses coefficients : \(a\) pour le terme en \(x^{2}\), \(b\) pour le terme en \(x\) et \(c\) pour le terme constant. Pour un dénominateur du premier degré comme \(x - 3\), posez \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = -3\). Le calculateur résout l'équation \(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0\) et indique chaque solution réelle sous la forme d'une asymptote verticale \(x = \text{valeur}\).
La formule expliquée
Annuler le dénominateur fournit les asymptotes candidates. Lorsque \(a = 0\), l'équation est du premier degré et possède l'unique solution \(x = -c / b\). Lorsque \(a \neq 0\), on applique la formule du second degré :
$$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$Le discriminant \(b^{2} - 4ac\) détermine le nombre de racines réelles : positif, il donne deux asymptotes ; nul, une seule ; négatif, aucune.
Exemple résolu
Prenons \(f(x) = 1 / (x^{2} - 4)\). Ici \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -4\). Le discriminant vaut $$0 - 4(1)(-4) = 16,$$ donc \(\sqrt{16} = 4\). Les racines sont $$\frac{0 \pm 4}{2} = \pm 2.$$ La fonction admet donc deux asymptotes verticales : \(x = -2\) et \(x = 2\).
Foire aux questions
Et si le numérateur s'annule au même point ? Dans ce cas, cette valeur de \(x\) correspond peut-être à une discontinuité éliminable (un trou) plutôt qu'à une asymptote. Cet outil suppose que le numérateur est non nul aux racines : vérifiez toujours ce point.
Pourquoi n'y a-t-il parfois aucune asymptote ? Si le dénominateur n'a aucune racine réelle (discriminant négatif), il ne s'annule jamais pour \(x\) réel : il n'existe donc aucune asymptote verticale.
Une fonction peut-elle en avoir plus de deux ? Oui — un dénominateur de degré supérieur peut posséder davantage de racines. Ce calculateur traite les dénominateurs jusqu'au second degré (deux au maximum).
