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वर्टिकल एसिम्प्टोट की संख्या

जहाँ हर = 0 हो (यह मानते हुए कि वहाँ अंश ≠ 0 है)

एसिम्प्टोट 1	x = -2
एसिम्प्टोट 2	x = 2

वर्टिकल एसिम्प्टोट क्या होता है?

वर्टिकल एसिम्प्टोट एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = a$ होती है, जिसके पास किसी फलन का ग्राफ़ तो पहुँचता है पर उसे कभी छूता नहीं — इस बिंदु के निकट फलन का मान धनात्मक या ऋणात्मक अनंत की ओर भाग जाता है। किसी परिमेय फलन $f(x) = N(x) / D(x)$ में वर्टिकल एसिम्प्टोट उन्हीं $x$-मानों पर बनते हैं जो हर (denominator) को शून्य कर देते हैं — बशर्ते वहाँ अंश (numerator) शून्य न हो (वरना वहाँ एसिम्प्टोट के बजाय एक हटाने योग्य छेद यानी removable hole हो सकता है)। यह कैलकुलेटर हर पर ध्यान केंद्रित करता है और उसे एक रैखिक या द्विघात बहुपद $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ मानकर हल करता है।

एक धराशायी ऊर्ध्वाधर रेखा के पास पहुँचता वक्र, उसे छुए बिना — ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी वह रेखा $x = a$ है जिसके पास ग्राफ़ पहुँचता है पर कभी काटता नहीं।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपने फलन को एक भिन्न के रूप में लिखें और उसका हर पहचानें। फिर उसके गुणांक डालें: $x^{2}$ पद के लिए $a$, $x$ पद के लिए $b$, और स्थिर पद के लिए $c$। यदि हर रैखिक है, जैसे $x - 3$, तो $a = 0$, $b = 1$, $c = -3$ रखें। कैलकुलेटर $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$ को हल करता है और हर वास्तविक हल को एक वर्टिकल एसिम्प्टोट $x =$ मान के रूप में दिखाता है।

सूत्र को समझें

हर को शून्य के बराबर रखने पर संभावित एसिम्प्टोट मिलते हैं। जब $a = 0$ हो, तो समीकरण रैखिक होता है और इसका एकमात्र हल $x = -c / b$ होता है। जब $a \neq 0$ हो, तो हम द्विघात सूत्र का उपयोग करते हैं:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$

विविक्तकर (discriminant) $b^{2} - 4ac$ तय करता है कि कितने वास्तविक मूल हैं: धनात्मक होने पर दो एसिम्प्टोट, शून्य होने पर एक, और ऋणात्मक होने पर एक भी नहीं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $f(x) = 1 / (x^{2} - 4)$। यहाँ $a = 1$, $b = 0$, $c = -4$ है। विविक्तकर $$= 0 - 4(1)(-4) = 16,$$ इसलिए $\sqrt{16} = 4$। मूल हैं $$(0 \pm 4) / 2 = \pm 2.$$ अतः इस फलन के दो वर्टिकल एसिम्प्टोट हैं: $x = -2$ और $x = 2$।

दो ऊर्ध्वाधर धराशायी अनंतस्पर्शी रेखाओं वाला परिमेय फलन का ग्राफ़ — हर का प्रत्येक वास्तविक मूल एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी देता है (यहाँ दो धराशायी रेखाएँ)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि उसी बिंदु पर अंश भी शून्य हो तो क्या होगा? तब वह $x$-मान एसिम्प्टोट के बजाय एक हटाने योग्य असातत्य (छेद) हो सकता है। यह टूल यह मानकर चलता है कि मूलों पर अंश शून्य नहीं है; इसलिए हमेशा खुद जाँच लें।

कभी-कभी कोई एसिम्प्टोट क्यों नहीं मिलता? यदि हर का कोई वास्तविक मूल न हो (ऋणात्मक विविक्तकर), तो वह किसी भी वास्तविक $x$ के लिए शून्य नहीं होता, इसलिए कोई वर्टिकल एसिम्प्टोट नहीं बनता।

क्या किसी फलन में दो से अधिक एसिम्प्टोट हो सकते हैं? हाँ — उच्च घात वाले हर में अधिक मूल हो सकते हैं। यह कैलकुलेटर अधिकतम द्विघात हर तक संभालता है (अर्थात् ज़्यादा से ज़्यादा दो)।

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