परिमेय व्यंजक सरलीकरण कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

अंश a (x²)

अंश b (x)

अंश c (अचर)

हर a (x²)

हर b (x)

हर c (अचर)

हर बहुपद को a·x² + b·x + c के रूप में भरें। न मौजूद पदों के लिए 0 का उपयोग करें (जैसे x+2 के लिए a=0, b=1, c=2 भरें)।

परिणाम

सरलीकृत व्यंजक

(x + 2) (x - 3)

काटे गए उभयनिष्ठ गुणनखंड	1
प्रमुख गुणांक	1

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी परिमेय व्यंजक (rational expression) को सरल करता है — यानी ऐसी भिन्न जिसके अंश और हर दोनों बहुपद (polynomial) होते हैं। यह \(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c\) के रूप में दो द्विघात (quadratic) स्वीकार करता है, हर एक के मूल (roots) निकालता है, उन्हें \((x - r)\) गुणनखंडों में तोड़ता है, और जो भी गुणनखंड ऊपर (अंश) और नीचे (हर) दोनों में आता है उसे काट देता है। परिणाम वही मूल अनुपात होता है, जो अपने न्यूनतम रूप में लाया गया हो — ठीक वैसे ही जैसे आप बीजगणित की कक्षा में हाथ से हल करते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

अंश के तीन गुणांक और हर के तीन गुणांक भरें। यदि बहुपद रैखिक हो जैसे \(x + 2\), तो \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = 2\) रखें। यदि केवल अचर (constant) हो, तो \(a = 0\) और \(b = 0\) रखें। "गणना करें" पर क्लिक करें और टूल आपको सरलीकृत भिन्न, कितने उभयनिष्ठ गुणनखंड काटे गए, और परिणाम का प्रमुख गुणांक (leading coefficient) लौटाएगा।

सूत्र की व्याख्या

हर द्विघात \(ax^{2} + bx + c\) को \(a(x - r_1)(x - r_2)\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \(r_1\) और \(r_2\) उसके मूल हैं जो द्विघात सूत्र (quadratic formula) से निकाले जाते हैं। जब दोनों बहुपद गुणनखंड रूप में आ जाते हैं, तो ऊपर और नीचे का कोई भी मिलता-जुलता \((x - r)\) गुणनखंड 1 के बराबर होकर हट जाता है। बचे हुए प्रमुख अंक मिलकर एक ही अचर गुणांक बनाते हैं (यानी दोनों प्रमुख गुणांकों का अनुपात)।

$$\frac{\text{na}\,x^{2} + \text{nb}\,x + \text{nc}}{\text{da}\,x^{2} + \text{db}\,x + \text{dc}} = \frac{a_N(x-r_1)(x-r_2)}{a_D(x-s_1)(x-s_2)} \;\xrightarrow{\text{cancel}}\; \frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$$

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अंश और हर का गुणनखंडन करने से मिलते-जुलते द्विपद गुणनखंड कट जाते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(\dfrac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6x + 9}\)। अंश का गुणनखंड बनता है \((x - 3)(x + 2)\) और हर का \((x - 3)(x - 3)\)। उभयनिष्ठ \((x - 3)\) कट जाता है, और बचता है \(\dfrac{x + 2}{x - 3}\)। एक गुणनखंड काटा गया और प्रमुख गुणांक 1 है।

हल किया गया उदाहरण मूल भिन्न से गुणनखंडित रूप और फिर सरलीकृत परिणाम तक जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या यह ऐसे व्यंजक संभाल सकता है जो पूरी तरह कट जाएं? हाँ — यदि हर का प्रत्येक गुणनखंड कट जाए, तो परिणाम बिना किसी भिन्न के एक बहुपद या अचर के रूप में आता है।

अपरिमेय या पुनरावृत्त मूलों का क्या? पुनरावृत्त (repeated) मूल एक-एक करके कटते हैं; अपरिमेय (irrational) मूलों का मिलान संख्यात्मक रूप से किया जाता है, इसलिए जो गुणनखंड वास्तव में बराबर हों वे फिर भी कट जाते हैं।

क्या उत्तर में प्रांत (domain) संबंधी प्रतिबंध बताए जाते हैं? बीजगणितीय दृष्टि से, कटा हुआ गुणनखंड भी अपने मूल को प्रांत से बाहर रखता है, लेकिन यह कैलकुलेटर मुख्य रूप से सरलीकृत रूप पर केंद्रित है।