Qué hace esta calculadora
Esta herramienta simplifica una expresión racional, es decir, una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios. Admite dos cuadráticas con la forma \(a\cdot x^{2} + b\cdot x + c\), calcula las raíces de cada una, las factoriza en términos del tipo \((x - r)\) y cancela cualquier factor que aparezca a la vez arriba y abajo. El resultado es el cociente original reducido a su mínima expresión, tal y como lo harías a mano en clase de álgebra.
Cómo usarla
Introduce los tres coeficientes del numerador y los tres del denominador. Para un polinomio de primer grado como \(x + 2\), pon \(a = 0\), \(b = 1\) y \(c = 2\). Para una constante pura, pon \(a = 0\) y \(b = 0\). Pulsa calcular y la herramienta te devuelve la fracción simplificada, el número de factores comunes cancelados y el coeficiente principal que multiplica el resultado.
La fórmula explicada
Toda cuadrática \(ax^{2} + bx + c\) se puede escribir como \(a(x - r_1)(x - r_2)\), donde \(r_1\) y \(r_2\) son sus raíces, obtenidas con la fórmula general (la conocida «fórmula cuadrática»). Una vez que ambos polinomios están factorizados, cualquier factor \((x - r)\) que coincida arriba y abajo es igual a 1 y se elimina. Los números principales que quedan se combinan en un único coeficiente constante (el cociente de los dos coeficientes principales).
$$\frac{\text{na}\,x^{2} + \text{nb}\,x + \text{nc}}{\text{da}\,x^{2} + \text{db}\,x + \text{dc}} = \frac{a_N(x-r_1)(x-r_2)}{a_D(x-s_1)(x-s_2)} \;\xrightarrow{\text{cancel}}\; \frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\dfrac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6x + 9}\). El numerador se factoriza como \((x - 3)(x + 2)\) y el denominador como \((x - 3)(x - 3)\). El factor común \((x - 3)\) se cancela y queda \(\dfrac{x + 2}{x - 3}\). Se canceló un factor y el coeficiente principal es 1.
$$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6x + 9} = \frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x-3)} \;\xrightarrow{\text{cancel}}\; \frac{x+2}{x-3}$$
Preguntas frecuentes
¿Funciona con expresiones que se cancelan por completo? Sí: si todos los factores del denominador se cancelan, el resultado pasa a ser un polinomio o una constante, sin fracción.
¿Y con raíces irracionales o repetidas? Las raíces repetidas se cancelan una a una; las raíces irracionales se comparan numéricamente, de modo que los factores que realmente son iguales también se cancelan.
¿El resultado indica las restricciones del dominio? Desde el punto de vista algebraico, el factor cancelado sigue excluyendo su raíz del dominio, pero esta calculadora se centra en la forma simplificada.
