Что делает этот калькулятор
Этот инструмент упрощает рациональное выражение — дробь, у которой и числитель, и знаменатель являются многочленами. Он принимает два квадратных трёхчлена вида \(ax^{2} + bx + c\), находит корни каждого, раскладывает их на множители вида \((x - r)\) и сокращает все множители, которые встречаются и сверху, и снизу. На выходе вы получаете исходное отношение, приведённое к простейшему виду, — ровно так, как это делается вручную на уроке алгебры.
Как пользоваться
Введите три коэффициента числителя и три коэффициента знаменателя. Для линейного многочлена, например \(x + 2\), задайте \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = 2\). Если многочлен — это просто число (константа), укажите \(a = 0\) и \(b = 0\). Нажмите «Рассчитать», и калькулятор покажет упрощённую дробь, количество сокращённых общих множителей и старший коэффициент, на который умножается результат.
Формула простыми словами
Любой квадратный трёхчлен \(ax^{2} + bx + c\) можно записать как \(a(x - r_1)(x - r_2)\), где \(r_1\) и \(r_2\) — его корни, найденные по формуле для квадратного уравнения. Когда оба многочлена разложены на множители, любой совпадающий множитель \((x - r)\) в числителе и знаменателе даёт 1 и убирается. Оставшиеся старшие коэффициенты объединяются в один постоянный множитель — отношение двух старших коэффициентов.
$$\frac{\text{na}\,x^{2} + \text{nb}\,x + \text{nc}}{\text{da}\,x^{2} + \text{db}\,x + \text{dc}} = \frac{a_N(x-r_1)(x-r_2)}{a_D(x-s_1)(x-s_2)} \;\xrightarrow{\text{cancel}}\; \frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$$
Разбор примера
Возьмём \(\dfrac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6x + 9}\). Числитель раскладывается как \((x - 3)(x + 2)\), а знаменатель — как \((x - 3)(x - 3)\). Общий множитель \((x - 3)\) сокращается, остаётся \(\dfrac{x + 2}{x - 3}\). Сокращён один множитель, старший коэффициент равен \(1\).
Частые вопросы
Справится ли калькулятор, если всё полностью сокращается? Да. Если сокращаются все множители знаменателя, результатом становится многочлен или константа без дроби.
А как насчёт иррациональных или кратных корней? Кратные корни сокращаются один к одному; иррациональные корни сопоставляются численно, поэтому множители, которые на самом деле равны, всё равно сокращаются.
Учитывает ли ответ ограничения области определения? С точки зрения алгебры сокращённый множитель по-прежнему исключает свой корень из области определения, но этот калькулятор сосредоточен именно на упрощённом виде выражения.
