Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, pay ve paydası polinom olan bir kesri, yani rasyonel ifadeyi sadeleştirir. \(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c\) biçiminde iki ikinci dereceden ifade alır, her birinin köklerini bulur, bunları \((x - r)\) çarpanlarına ayırır ve hem payda hem paydada görünen ortak çarpanları sadeleştirir. Sonuç, tıpkı bir cebir dersinde elle yaptığınız gibi, ifadenin en sade hâle indirgenmiş biçimidir.
Nasıl kullanılır?
Payın üç katsayısını ve paydanın üç katsayısını girin. \(x + 2\) gibi birinci dereceden bir polinom için \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = 2\) yazın. Yalnızca sabit bir terim için \(a = 0\) ve \(b = 0\) girin. Hesapla düğmesine bastığınızda araç; sadeleştirilmiş kesri, sadeleştirilen ortak çarpan sayısını ve sonucu çarpan baş katsayıyı döndürür.
Formülün açıklaması
Her \(ax^{2} + bx + c\) ifadesi \(a(x - r_1)(x - r_2)\) biçiminde yazılabilir; burada \(r_1\) ve \(r_2\), ikinci dereceden denklem formülüyle bulunan köklerdir. Her iki polinom çarpanlarına ayrıldıktan sonra, payda ve paydada eşleşen her \((x - r)\) çarpanı 1'e eşit olur ve sadeleşip gider. Geriye kalan baş katsayılar tek bir sabit katsayı hâlinde birleşir (iki baş katsayının oranı).
$$\frac{\text{na}\,x^{2} + \text{nb}\,x + \text{nc}}{\text{da}\,x^{2} + \text{db}\,x + \text{dc}} = \frac{a_N(x-r_1)(x-r_2)}{a_D(x-s_1)(x-s_2)} \;\xrightarrow{\text{cancel}}\; \frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$$
Örnek çözüm
\(\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6x + 9}\) ifadesini ele alalım. Pay \((x - 3)(x + 2)\), payda ise \((x - 3)(x - 3)\) olarak çarpanlarına ayrılır. Ortak \((x - 3)\) çarpanı sadeleşince geriye \(\frac{x + 2}{x - 3}\) kalır. Bir çarpan sadeleştirilmiş olur ve baş katsayı 1'dir.
Sıkça sorulan sorular
Tamamen sadeleşen ifadeleri çözebilir mi? Evet — paydadaki tüm çarpanlar sadeleşirse sonuç, kesir gösterilmeden bir polinom ya da sabit sayı olur.
İrrasyonel ya da katlı kökler ne olur? Katlı kökler birer birer sadeleşir; irrasyonel kökler sayısal olarak eşleştirilir, dolayısıyla gerçekten eşit olan çarpanlar yine sadeleşir.
Sonuç, tanım kümesi kısıtlamalarını belirtir mi? Cebirsel olarak sadeleşen çarpan, kendi kökünü tanım kümesinin dışında bırakmaya devam eder; ancak bu hesaplayıcı sade biçime odaklanır.
