이 계산기의 기능
이 도구는 분자와 분모가 모두 다항식인 분수, 즉 유리식을 간단히 정리해 줍니다. \(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c\) 형태의 이차식 두 개를 입력하면 각각의 근을 구해 \((x - r)\) 형태로 인수분해하고, 분자와 분모에 공통으로 나타나는 인수를 약분합니다. 결과는 처음 입력한 비를 기약 형태까지 줄인 식으로, 대수 시간에 손으로 직접 푸는 과정과 똑같습니다.
사용 방법
분자의 세 계수와 분모의 세 계수를 입력하세요. \(x + 2\) 같은 일차식이라면 \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = 2\)로 설정하면 됩니다. 상수항 하나만 있는 경우에는 \(a = 0\), \(b = 0\)으로 두면 됩니다. 계산 버튼을 누르면 간단히 정리된 분수, 약분된 공통 인수의 개수, 그리고 결과에 곱해지는 최고차항 계수가 표시됩니다.
공식 설명
모든 이차식 \(ax^{2} + bx + c\)는 \(a(x - r_1)(x - r_2)\) 형태로 쓸 수 있으며, 여기서 \(r_1\)과 \(r_2\)는 근의 공식으로 구한 근입니다. 두 다항식을 인수분해한 뒤에는 분자와 분모에 공통으로 있는 \((x - r)\) 인수가 1이 되어 사라집니다. 남은 최고차항 숫자들은 하나의 상수 계수(두 최고차항 계수의 비)로 합쳐집니다.
$$\frac{\text{na}\,x^{2} + \text{nb}\,x + \text{nc}}{\text{da}\,x^{2} + \text{db}\,x + \text{dc}} = \frac{a_N(x-r_1)(x-r_2)}{a_D(x-s_1)(x-s_2)} \;\xrightarrow{\text{cancel}}\; \frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$$
예제 풀이
\((x^{2} - x - 6)/(x^{2} - 6x + 9)\)을 살펴봅시다. 분자는 \((x - 3)(x + 2)\)로, 분모는 \((x - 3)(x - 3)\)으로 인수분해됩니다. 공통 인수인 \((x - 3)\)이 약분되어 \((x + 2)/(x - 3)\)이 남습니다. 약분된 인수는 1개이고, 최고차항 계수는 1입니다.
$$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6x + 9} = \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x - 3)} \;\xrightarrow{\text{cancel}}\; \frac{x + 2}{x - 3}$$
자주 묻는 질문
완전히 약분되는 식도 처리하나요? 네 — 분모의 모든 인수가 약분되면 결과는 분수가 아닌 다항식이나 상수로 나타납니다.
무리수 근이나 중근은 어떻게 되나요? 중근은 하나씩 짝지어 약분되고, 무리수 근은 수치로 비교하므로 실제로 같은 인수라면 그대로 약분됩니다.
정의역 제한도 알려주나요? 대수적으로는 약분된 인수의 근이 여전히 정의역에서 제외되지만, 이 계산기는 간단히 정리된 형태에 초점을 둡니다.
