ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بتبسيط العبارة النسبية، أي الكسر الذي يكون بسطه ومقامه كثيرات حدود. تستقبل عبارتين تربيعيتين بالصيغة \(a\cdot x^{2} + b\cdot x + c\)، وتوجد جذور كل منهما، ثم تحلّلهما إلى عوامل على شكل \((x - r)\)، وتختزل أي عامل يظهر في البسط والمقام معًا. والنتيجة هي النسبة الأصلية بعد ردّها إلى أبسط صورة، تمامًا كما تفعل يدويًا في درس الجبر.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة للبسط والمعاملات الثلاثة للمقام. إذا كانت كثيرة الحدود من الدرجة الأولى مثل \(x + 2\)، فاجعل \(a = 0\) و \(b = 1\) و \(c = 2\). وإذا كانت ثابتًا فقط، فاجعل \(a = 0\) و \(b = 0\). اضغط على «احسب» لتعرض الأداة الكسر المبسّط، وعدد العوامل المشتركة التي تم اختزالها، والمعامل القيادي الذي يضرب الناتج.
شرح الصيغة
يمكن كتابة أي عبارة تربيعية \(ax^{2} + bx + c\) على الصورة \(a(x - r_1)(x - r_2)\)، حيث \(r_1\) و \(r_2\) هما جذراها اللذان يُحصل عليهما بالقانون العام للمعادلة التربيعية. وبعد تحليل كلتا كثيرتي الحدود إلى عوامل، فإن أي عامل متطابق \((x - r)\) في البسط والمقام يساوي 1 ويُحذف. أما الأعداد القيادية المتبقية فتجتمع في معامل ثابت واحد (وهو نسبة المعاملين القياديين).
$$\frac{\text{na}\,x^{2} + \text{nb}\,x + \text{nc}}{\text{da}\,x^{2} + \text{db}\,x + \text{dc}} = \frac{a_N(x-r_1)(x-r_2)}{a_D(x-s_1)(x-s_2)} \;\xrightarrow{\text{cancel}}\; \frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$$
مثال محلول
لنأخذ \(\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6x + 9}\). يتحلّل البسط إلى \((x - 3)(x + 2)\)، ويتحلّل المقام إلى \((x - 3)(x - 3)\). يُختزل العامل المشترك \((x - 3)\)، فيتبقى \(\frac{x + 2}{x - 3}\). لقد جرى اختزال عامل واحد، والمعامل القيادي يساوي 1.
الأسئلة الشائعة
هل تتعامل مع العبارات التي تُختزل بالكامل؟ نعم، فإذا اختُزلت جميع عوامل المقام، يصبح الناتج كثيرة حدود أو ثابتًا دون ظهور أي كسر.
وماذا عن الجذور غير النسبية أو المكرّرة؟ تُختزل الجذور المكرّرة واحدًا مقابل واحد، أما الجذور غير النسبية فتُطابَق عدديًا، بحيث تُختزل العوامل المتساوية فعليًا.
هل تشير النتيجة إلى قيود المجال؟ من الناحية الجبرية يظل العامل المختزل يستبعد جذره من المجال، لكن هذه الحاسبة تركّز على الصورة المبسّطة.
