À quoi sert cette calculatrice
Cet outil simplifie une expression rationnelle, c'est-à-dire une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Il accepte deux trinômes de la forme \(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c\), calcule les racines de chacun, les factorise sous forme de facteurs \((x - r)\), puis élimine tout facteur présent à la fois en haut et en bas. Vous obtenez ainsi le quotient initial réduit à sa forme irréductible, exactement comme vous le feriez à la main en cours d'algèbre.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients du numérateur et les trois du dénominateur. Pour un polynôme du premier degré comme \(x + 2\), posez \(a = 0\), \(b = 1\) et \(c = 2\). Pour une simple constante, posez \(a = 0\) et \(b = 0\). Cliquez sur « Calculer » : l'outil affiche la fraction simplifiée, le nombre de facteurs communs supprimés et le coefficient dominant qui multiplie le résultat.
La formule expliquée
Tout trinôme \(ax^{2} + bx + c\) peut s'écrire sous la forme \(a(x - r_1)(x - r_2)\), où \(r_1\) et \(r_2\) sont ses racines déterminées grâce à la formule du discriminant. Une fois les deux polynômes factorisés, chaque facteur \((x - r)\) identique en haut et en bas vaut 1 et disparaît. Les coefficients dominants restants se combinent alors en un seul coefficient constant (le rapport des deux coefficients dominants).
$$\frac{\text{na}\,x^{2} + \text{nb}\,x + \text{nc}}{\text{da}\,x^{2} + \text{db}\,x + \text{dc}} = \frac{a_N(x-r_1)(x-r_2)}{a_D(x-s_1)(x-s_2)} \;\xrightarrow{\text{cancel}}\; \frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$$
Exemple détaillé
Prenons \(\dfrac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6x + 9}\). Le numérateur se factorise en \((x - 3)(x + 2)\) et le dénominateur en \((x - 3)(x - 3)\). Le facteur commun \((x - 3)\) s'élimine, ce qui donne \(\dfrac{x + 2}{x - 3}\). Un facteur a été supprimé et le coefficient dominant vaut 1.
FAQ
Gère-t-elle les expressions qui se simplifient entièrement ? Oui : si tous les facteurs du dénominateur s'éliminent, le résultat devient un polynôme ou une constante, sans plus aucune fraction affichée.
Et les racines irrationnelles ou multiples ? Les racines multiples s'éliminent une à une ; les racines irrationnelles sont comparées numériquement, si bien que des facteurs réellement identiques s'éliminent malgré tout.
Le résultat précise-t-il les restrictions du domaine de définition ? Sur le plan algébrique, le facteur éliminé exclut toujours sa racine du domaine de définition, mais cette calculatrice se concentre sur la forme simplifiée.
