Máy Tính Tiệm Cận Đứng

Nhập phép tính

Hàm phân thức f(x) = N(x) / D(x). Nhập mẫu số dưới dạng bậc hai a·x² + b·x + c (đặt a = 0 nếu mẫu số là bậc nhất).

a (hệ số của x²)

b (hệ số của x)

c (hằng số)

Kết quả

Số lượng tiệm cận đứng

2

tại nơi mẫu số = 0 (giả định tử số ≠ 0 tại đó)

Tiệm cận 1	x = -2
Tiệm cận 2	x = 2

Tiệm cận đứng là gì?

Tiệm cận đứng là đường thẳng đứng \(x = a\) mà đồ thị của hàm số tiến lại gần nhưng không bao giờ chạm tới, đó là nơi giá trị của hàm số vọt ra vô cực dương hoặc vô cực âm. Với hàm phân thức \(f(x) = N(x) / D(x)\), tiệm cận đứng xuất hiện tại những giá trị \(x\) làm cho mẫu số bằng 0 — với điều kiện tử số không đồng thời bằng 0 tại đó (nếu cả hai cùng bằng 0 thì có thể chỉ là một "lỗ thủng" khử được, chứ không phải tiệm cận). Máy tính này tập trung vào mẫu số, xem nó như một đa thức bậc nhất hoặc bậc hai dạng \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c\).

Tiệm cận đứng là đường \(x = a\) mà đồ thị tiến gần nhưng không bao giờ cắt qua.

Cách sử dụng máy tính

Hãy viết hàm số dưới dạng phân số rồi xác định mẫu số. Sau đó nhập các hệ số: \(a\) là hệ số của \(x^2\), \(b\) là hệ số của \(x\), và \(c\) là hằng số. Với mẫu số bậc nhất như \(x - 3\), bạn nhập \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = -3\). Máy tính sẽ giải phương trình \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\) và trả về mỗi nghiệm thực dưới dạng một tiệm cận đứng \(x = \text{giá trị}\).

Giải thích công thức

Cho mẫu số bằng 0 ta tìm được các tiệm cận tiềm năng. Khi \(a = 0\), phương trình là bậc nhất với nghiệm duy nhất \(x = -c / b\). Khi \(a \neq 0\), ta dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Biệt thức \(b^2 - 4ac\) quyết định số nghiệm thực: dương thì có hai tiệm cận, bằng 0 thì có một, còn âm thì không có tiệm cận nào.

Quảng cáo

Ví dụ minh họa

Xét hàm \(f(x) = 1 / (x^2 - 4)\). Ở đây \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -4\). Biệt thức bằng \(0 - 4(1)(-4) = 16\), nên \(\sqrt{16} = 4\). Các nghiệm là $$\frac{0 \pm 4}{2} = \pm 2.$$ Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng: \(x = -2\) và \(x = 2\).

Mỗi nghiệm thực của mẫu số tạo một tiệm cận đứng (ở đây là hai đường nét đứt).

Câu hỏi thường gặp

Nếu tử số cũng bằng 0 tại cùng điểm đó thì sao? Khi đó giá trị \(x\) ấy có thể là một điểm gián đoạn khử được (lỗ thủng) chứ không phải tiệm cận. Công cụ này giả định tử số khác 0 tại các nghiệm; bạn nên luôn kiểm tra lại.

Vì sao đôi khi không có tiệm cận nào? Nếu mẫu số không có nghiệm thực (biệt thức âm) thì nó không bao giờ bằng 0 với \(x\) thực, do đó không tồn tại tiệm cận đứng.

Một hàm số có thể có nhiều hơn hai tiệm cận không? Có — mẫu số bậc cao hơn có thể có nhiều nghiệm hơn. Máy tính này xử lý mẫu số tối đa bậc hai (nhiều nhất là hai tiệm cận).