Калькулятор вертикальных асимптот

Введите расчет

Дробно-рациональная функция f(x) = N(x) / D(x). Введите знаменатель как квадратный многочлен a·x² + b·x + c (для линейного знаменателя задайте a = 0).

a (коэффициент при x²)

b (коэффициент при x)

c (свободный член)

Результатов

Количество вертикальных асимптот

2

там, где знаменатель = 0 (при условии, что числитель ≠ 0 в этой точке)

Асимптота 1	x = -2
Асимптота 2	x = 2

Что такое вертикальная асимптота?

Вертикальная асимптота — это вертикальная прямая \(x = a\), к которой график функции приближается сколь угодно близко, но никогда её не касается, а значение функции при этом стремится к плюс или минус бесконечности. Для дробно-рациональной функции \(f(x) = N(x) / D(x)\) вертикальные асимптоты возникают в тех значениях \(x\), при которых знаменатель обращается в ноль — при условии, что числитель в этой же точке не равен нулю (иначе вместо асимптоты получится устранимая «дырка» в графике). Этот калькулятор работает именно со знаменателем, рассматривая его как линейный или квадратный многочлен \(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c\).

Вертикальная асимптота — это прямая \(x = a\), к которой график приближается, но не пересекает.

Как пользоваться калькулятором

Запишите функцию в виде дроби и выделите знаменатель. Введите его коэффициенты: \(a\) — при \(x^{2}\), \(b\) — при \(x\) и \(c\) — свободный член. Для линейного знаменателя, например \(x - 3\), задайте \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = -3\). Калькулятор решит уравнение \(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0\) и выдаст каждое действительное решение как вертикальную асимптоту \(x = \text{значение}\).

Разбор формулы

Приравняв знаменатель к нулю, мы получаем кандидатов на роль асимптот. Если \(a = 0\), уравнение линейное и имеет единственное решение \(x = -c / b\). Если же \(a \neq 0\), применяем формулу корней квадратного уравнения $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ Дискриминант \(b^{2} - 4ac\) показывает, сколько действительных корней существует: положительный — две асимптоты, равный нулю — одна, отрицательный — ни одной.

Реклама

Разбор на примере

Возьмём \(f(x) = 1 / (x^{2} - 4)\). Здесь \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -4\). Дискриминант равен $$0 - 4(1)(-4) = 16$$ значит \(\sqrt{16} = 4\). Корни: $$\frac{0 \pm 4}{2} = \pm 2$$ Следовательно, у функции две вертикальные асимптоты: \(x = -2\) и \(x = 2\).

Каждый действительный корень знаменателя даёт вертикальную асимптоту (здесь две пунктирные линии).

Частые вопросы

А если числитель в этой же точке тоже равен нулю? Тогда это значение \(x\), скорее всего, является устранимым разрывом («дыркой»), а не асимптотой. Калькулятор предполагает, что в найденных корнях числитель не равен нулю, — это всегда стоит проверить отдельно.

Почему иногда асимптот вообще нет? Если у знаменателя нет действительных корней (дискриминант отрицательный), он никогда не обращается в ноль при действительных \(x\), а значит, вертикальных асимптот не существует.

Может ли у функции быть больше двух асимптот? Да — у знаменателей более высокой степени корней может быть больше. Этот калькулятор работает со знаменателем не выше второй степени, то есть максимум с двумя асимптотами.