수평점근선이란?
수평점근선이란 x가 양의 무한대 또는 음의 무한대로 갈 때 함수의 그래프가 한없이 가까워지는 수평선을 말합니다. 유리함수 \(f(x) = P(x) / Q(x)\)에서 점근선은 오직 분자와 분모 다항식의 차수와 최고차항 계수에 의해서만 결정되며, 낮은 차수의 항들은 영향을 주지 않습니다.
계산기 사용 방법
먼저 분자(위쪽) 다항식의 최고차항 계수와 차수를 입력하고, 이어서 분모(아래쪽) 다항식의 최고차항 계수와 차수를 입력하세요. 계산기가 두 차수를 비교해 올바른 수평점근선을 즉시 알려줍니다.
판별 규칙 한눈에 보기
경우는 세 가지로 나뉩니다. 첫째, 분자의 차수가 분모보다 작으면 함수 값이 0에 수렴하므로 점근선은 \(y = 0\)입니다. 둘째, 두 차수가 같으면 점근선은 최고차항 계수의 비, 즉 \(y = a/b\)가 됩니다. 셋째, 분자의 차수가 더 크면 함수가 무한히 커져 수평점근선이 존재하지 않습니다(이 경우 사선 점근선이나 다항식 점근선이 나타날 수 있습니다).
$$y = \begin{cases} 0 & \text{Num Deg} < \text{Den Deg} \\[0.6em] \dfrac{\text{Num Coef}}{\text{Den Coef}} & \text{Num Deg} = \text{Den Deg} \\[0.6em] \text{none} & \text{Num Deg} > \text{Den Deg} \end{cases}$$
예제로 살펴보기
\(f(x) = (2x^2 + 3) / (4x^2 - 1)\)을 생각해 봅시다. 두 다항식 모두 차수가 2로 같으므로, 수평점근선은 최고차항 계수의 비인 다음과 같이 됩니다.
$$y = \frac{2}{4} = 0.5$$
x가 점점 커질수록 \(+3\)과 \(-1\)은 무시할 수 있을 만큼 작아지고, 곡선은 직선 \(y = 0.5\)에 바짝 달라붙습니다.
자주 묻는 질문
그래프가 수평점근선을 가로지를 수 있나요? 네, 가능합니다. 수직점근선과 달리 곡선은 유한한 x 값에서 수평점근선을 가로지를 수 있습니다. 이 직선은 어디까지나 x가 무한대로 갈 때의 끝 동작(end behavior)만을 설명합니다.
분자의 차수가 더 크면 어떻게 되나요? 수평점근선이 존재하지 않습니다. 만약 분자의 차수가 분모보다 정확히 1만큼 크다면, 대신 사선(빗금) 점근선을 갖게 됩니다.
상수항도 중요한가요? 아니요. 수평점근선은 오직 최고차항만으로 결정됩니다.
