수평점근선 계산기

계산 입력

분자 (위쪽 다항식)

최고차항 계수

차수

분모 (아래쪽 다항식)

최고차항 계수

차수

결과

수평점근선

y = 0.5

최고차항 계수의 비

점근선 값 (y)	0.5
경우	deg(top) = deg(bottom)

수평점근선이란?

수평점근선이란 x가 양의 무한대 또는 음의 무한대로 갈 때 함수의 그래프가 한없이 가까워지는 수평선을 말합니다. 유리함수 \(f(x) = P(x) / Q(x)\)에서 점근선은 오직 분자와 분모 다항식의 차수와 최고차항 계수에 의해서만 결정되며, 낮은 차수의 항들은 영향을 주지 않습니다.

수평 점근선은 x가 양 또는 음의 무한대로 갈 때 곡선이 가까워지는 y 값입니다.

계산기 사용 방법

먼저 분자(위쪽) 다항식의 최고차항 계수와 차수를 입력하고, 이어서 분모(아래쪽) 다항식의 최고차항 계수와 차수를 입력하세요. 계산기가 두 차수를 비교해 올바른 수평점근선을 즉시 알려줍니다.

판별 규칙 한눈에 보기

경우는 세 가지로 나뉩니다. 첫째, 분자의 차수가 분모보다 작으면 함수 값이 0에 수렴하므로 점근선은 \(y = 0\)입니다. 둘째, 두 차수가 같으면 점근선은 최고차항 계수의 비, 즉 \(y = a/b\)가 됩니다. 셋째, 분자의 차수가 더 크면 함수가 무한히 커져 수평점근선이 존재하지 않습니다(이 경우 사선 점근선이나 다항식 점근선이 나타날 수 있습니다).

$$y = \begin{cases} 0 & \text{Num Deg} < \text{Den Deg} \\[0.6em] \dfrac{\text{Num Coef}}{\text{Den Coef}} & \text{Num Deg} = \text{Den Deg} \\[0.6em] \text{none} & \text{Num Deg} > \text{Den Deg} \end{cases}$$

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세 가지 결과는 P와 Q의 차수를 비교하여 결정됩니다.

예제로 살펴보기

\(f(x) = (2x^2 + 3) / (4x^2 - 1)\)을 생각해 봅시다. 두 다항식 모두 차수가 2로 같으므로, 수평점근선은 최고차항 계수의 비인 다음과 같이 됩니다.

$$y = \frac{2}{4} = 0.5$$

x가 점점 커질수록 \(+3\)과 \(-1\)은 무시할 수 있을 만큼 작아지고, 곡선은 직선 \(y = 0.5\)에 바짝 달라붙습니다.

자주 묻는 질문

그래프가 수평점근선을 가로지를 수 있나요? 네, 가능합니다. 수직점근선과 달리 곡선은 유한한 x 값에서 수평점근선을 가로지를 수 있습니다. 이 직선은 어디까지나 x가 무한대로 갈 때의 끝 동작(end behavior)만을 설명합니다.

분자의 차수가 더 크면 어떻게 되나요? 수평점근선이 존재하지 않습니다. 만약 분자의 차수가 분모보다 정확히 1만큼 크다면, 대신 사선(빗금) 점근선을 갖게 됩니다.

상수항도 중요한가요? 아니요. 수평점근선은 오직 최고차항만으로 결정됩니다.