이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 유리함수, 즉 \(f(x) = \frac{a\,x^{n} + \cdots}{b\,x^{m} + \cdots}\) 꼴로 두 다항식의 몫으로 표현되는 함수의 점근선을 찾아줍니다. 표준적인 차수 비교 규칙을 적용해 수평 점근선을 알려주고, 분모를 0으로 만드는 값을 통해 수직 점근선을 찾는 데도 도움을 줍니다.
사용 방법
분자의 최고차항 계수와 차수(\(a\)와 \(n\)), 그리고 분모의 최고차항 계수와 차수(\(b\)와 \(m\))를 입력하세요. 계산기는 두 차수를 비교해 수평 점근선을 결정합니다. 분모를 0으로 만드는 실수 값을 이미 알고 있다면, 선택 입력란인 근(root) 칸에 적어 \(x = \text{값}\)에서 수직 점근선이 존재함을 확인할 수 있습니다.
공식 자세히 보기
유리함수의 수평적 거동(behaviour)은 오직 최고차항에만 좌우됩니다. 분자의 차수가 분모의 차수보다 작으면 함수값이 0에 가까워지므로 수평 점근선은 \(y = 0\)입니다. 두 차수가 같으면 함수값이 최고차항 계수의 비율로 수렴하므로 수평 점근선은 \(y = \frac{a}{b}\)가 됩니다. 분자의 차수가 더 크면 함수값이 한없이 커지므로 수평 점근선이 없습니다(대신 사선 점근선이나 다항식 점근선이 생길 수 있습니다). 수직 점근선은 분모를 0으로 만들면서 분자는 0이 되지 않는 \(x\) 값에서 나타납니다.
$$\text{HA: } y = 0 \qquad\left(n < m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$$$\text{HA: } y = \frac{a}{b} \qquad\left(n = m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$$$\text{No HA} \qquad\left(n > m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$
예제 풀이
\(f(x) = \frac{2x + 3}{x^{2} - 1}\)을 생각해 봅시다. 분자의 차수는 1이고 분모의 차수는 2이므로 \(n < m\)이고, 따라서 수평 점근선은 \(y = 0\)입니다. 분모는 \((x - 1)(x + 1)\)로 인수분해되므로 \(x = 1\)과 \(x = -1\)에서 수직 점근선이 생깁니다. \(a = 2\), \(n = 1\), \(b = 1\), \(m = 2\), \(\text{root} = 1\)을 입력하면 \(y = 0\)과 \(x = 1\)의 수직 점근선이 확인됩니다.
자주 묻는 질문
유리함수가 자신의 수평 점근선을 가로지를 수 있나요? 네, 가능합니다. 수평 점근선은 \(x\)가 \(\pm\infty\)로 갈 때의 거동을 나타내는 것이므로, 유한한 \(x\) 구간에서는 그래프가 점근선을 가로지를 수 있습니다.
차수가 정확히 1만큼 차이 나면 어떻게 되나요? 이 경우 수평 점근선은 없지만, 다항식 나눗셈(긴 나눗셈)으로 구할 수 있는 사선(기울어진) 점근선이 존재합니다.
수직 점근선을 위해 왜 근을 입력해야 하나요? 분모의 근을 찾으려면 다항방정식을 풀어야 하는데, 이 가벼운 도구는 그 과정을 자동으로 수행하지 않습니다. 이미 알고 있는 근을 직접 입력하면 수직 점근선을 바로 표시해 줍니다.
