這個計算器的功能
本工具用來判斷有理函數的漸近線。所謂有理函數，就是兩個多項式相除的形式，例如 \(f(x) = \frac{a\,x^{n} + \cdots}{b\,x^{m} + \cdots}\)。計算器會依照標準的「次數比較法」算出水平漸近線，並協助你透過「讓分母等於零」的方式找出垂直漸近線。
使用方式
分別輸入分子的最高次項係數與次數（\(a\) 與 \(n\)），以及分母的最高次項係數與次數（\(b\) 與 \(m\)）。計算器會比較兩者的次數，判斷水平漸近線。如果你已經知道某個能讓分母為零的實數值，可以填入選填的「根」欄位，用來確認垂直漸近線 \(x = \text{該值}\)。
公式解析
有理函數在兩端的走勢，只取決於最高次項。完整的有理函數形式為：
$$y = \frac{a\,x^{n} + \cdots}{b\,x^{m} + \cdots}$$當分子的次數小於分母的次數時，函數值會趨近於零，因此水平漸近線為 \(y = 0\)；當兩者次數相等時，函數會趨近於最高次項係數的比值，也就是 \(y = \frac{a}{b}\)；當分子次數大於分母次數時，函數值會無限增大，沒有水平漸近線（此時可能存在斜漸近線或多項式漸近線）。各種情況整理如下：
$$\text{HA: } y = 0 \qquad\left(n < m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$$$\text{HA: } y = \frac{a}{b} \qquad\left(n = m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$$$\text{No HA} \qquad\left(n > m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$至於垂直漸近線，則出現在「使分母為零、但分子不為零」的 \(x\) 值上。
範例演練
以 \(f(x) = \frac{2x + 3}{x^{2} - 1}\) 為例。分子次數為 1，分母次數為 2，因此 \(n < m\)，水平漸近線為 \(y = 0\)。分母可因式分解為 \((x - 1)(x + 1)\)，所以垂直漸近線位於 \(x = 1\) 與 \(x = -1\)。在計算器中輸入 \(a = 2\)、\(n = 1\)、\(b = 1\)、\(m = 2\)，並把 root 設為 \(1\)，即可確認 \(y = 0\)，且 \(x = 1\) 處有一條垂直漸近線。
常見問題
有理函數會穿過自己的水平漸近線嗎？會。水平漸近線描述的是 \(x\) 趨近於 \(\pm\infty\) 時的末端走勢；在有限的 \(x\) 範圍內，圖形是有可能穿越它的。
如果分子與分母的次數剛好差 1 呢？這時沒有水平漸近線，但會有一條斜漸近線（slant asymptote），可用多項式長除法求得。
為什麼要自己輸入垂直漸近線的根？要找出分母的根，必須解一個多項式方程式，而這個輕量工具不會自動代你求解；只要你提供一個已知的根，它就能直接回報對應的垂直漸近線。
