對數合併計算機

輸入計算

對數底數 (b)

係數 a

真數 x

係數 c

真數 y

係數 d

真數 z

Condenses a·log_b(x) + c·log_b(y) − d·log_b(z) into a single logarithm.

結果

合併後對數的真數

log₁₀(5)

單一合併對數

Combined argument (x^a · y^c / z^d)	5
對數的數值	0.69897

什麼是對數合併計算機？

這個工具能把多個底數相同的對數合併成一個單一對數。它運用對數運算律，將形如 \(a\cdot\log_{b}(x) + c\cdot\log_{b}(y) - d\cdot\log_{b}(z)\) 的算式改寫為一個簡潔的對數式。這正是「展開對數」的反向操作，在代數、預備微積分以及求解對數方程式時都是常見步驟。

使用方法

先輸入共同底數 b，接著填入三個係數（a、c、d）以及三個真數（x、y、z）。計算機會回傳合併後的單一對數，並附上真數的數值與計算出的對數值。若某一項用不到，只要把它的係數設為 0（或把真數設為 1）即可。

公式解析

結果由三條運算律推導而來。冪次律會把每個係數移到指數位置：\(a\cdot\log_{b}(x) = \log_{b}(x^{a})\)。乘積律把對數的相加轉換成乘積的對數，商數律則把相減轉換成商的對數。三者結合後便得到 $$\log_{b}\!\left(\frac{x^{a}\,y^{c}}{z^{d}}\right)$$

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對數的三條法則：係數變成指數，求和變成乘積，相減變成相除。

範例演練

以底數 10 為例，計算 \(2\cdot\log(3) + 1\cdot\log(5) - 1\cdot\log(9)\)。真數會變成 $$\frac{3^{2} \times 5^{1}}{9^{1}} = \frac{9 \times 5}{9} = 5$$因此整個算式可合併為 \(\log_{10}(5) \approx 0.69897\)。

係數移到指數上，然後各項合併成一個分數的對數。

常見問題

所有對數的底數都必須相同嗎？是的。乘積律、商數律與冪次律只有在每一項的底數都相同時才能套用。

可以用自然對數（ln）嗎？可以——只要把底數設為 \(e \approx 2.71828\) 即可。

如果真數算出來是負數或零怎麼辦？此時對數值無法定義；唯有正的真數才會得到實數的對數值。