對數展開計算機

輸入計算

運算式類型 Product log(xy) Quotient log(x/y) Power log(x^p)

對數底數 (b)

x

y（用於乘積／商）

p（指數，用於次方）

結果

展開後的數值

1.50515

等於原始的 log(運算式)

運算式的原始對數	1.50515
log x	0.90309
log y	0.60206

這個計算機的用途

這個工具能運用三大核心對數性質，把單一的「組合運算式對數」改寫成數個較簡單對數的相加、相減或倍數形式。它適用於任何正底數——常用對數（底數 10）、自然對數（底數 e）、二進位對數（底數 2），或任何自訂底數皆可。同時，它還會把原式與展開式的數值都算出來，方便你確認兩者完全一致。

三大法則

乘積法則：$$\log_{b}(xy) = \log_{b} x + \log_{b} y$$商法則：$$\log_{b}\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_{b} x - \log_{b} y$$次方法則：$$\log_{b}(x^{p}) = p \cdot \log_{b} x$$由於對數本質上就是指數，這些法則都可直接由指數律推導而來。

積、商和冪的法則可將單個對數展開為更簡單的項。

使用方法

先選擇運算式類型，輸入對數底數 \(b\)，接著輸入 \(x\) 與第二個數值（乘積與商輸入 \(y\)，次方則輸入指數 \(p\)）。計算機會回傳展開後的數值，並逐項拆解每一個對數項。

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範例演算

展開以 2 為底的 log(8 × 4)。運用乘積法則：$$\log_{2}(8 \cdot 4) = \log_{2} 8 + \log_{2} 4 = 3 + 2 = 5$$再驗算原式：\(\log_{2}(32) = 5\)。兩種形式結果一致，證明展開正確無誤。

展開範例：依序套用每條法則，將對數完全展開。

常見問題

為什麼 x 與 y 必須是正數？在實數範圍內，零或負數的對數沒有定義，因此輸入值必須大於 0。

指數 p 可以是負數或分數嗎？可以。次方法則對任何實數指數都成立，所以 \(p\) 可以是負數（例如用於根號與倒數），也可以是小數。

我該用哪個底數？常用對數請用 10，自然對數請用 \(e \approx 2.71828\)，或任何不等於 1 的正數皆可。無論底數為何，法則都完全相同。