Что делает этот калькулятор
Инструмент преобразует логарифм составного выражения в сумму, разность или кратное более простых логарифмов, опираясь на три основных свойства логарифма. Он работает с любым положительным основанием — десятичным (10), натуральным (e), двоичным (2) или произвольным — и заодно вычисляет как исходную, так и развёрнутую форму, чтобы вы могли убедиться: результаты совпадают.
Три правила
Правило произведения: \(\log_{b}\!\left(xy\right) = \log_{b}\!x + \log_{b}\!y\). Правило частного: \(\log_{b}\!\left(x/y\right) = \log_{b}\!x - \log_{b}\!y\). Правило степени: \(\log_{b}\!\left(x^{p}\right) = p\cdot\log_{b}\!x\). Все они напрямую вытекают из свойств степеней, ведь логарифм — это, по сути, показатель степени.
Как пользоваться
Выберите тип выражения, укажите основание логарифма \(b\), затем введите \(x\) и второе значение (\(y\) для произведения или частного либо показатель \(p\) для степени). Калькулятор вернёт развёрнутое значение и распишет каждое отдельное слагаемое.
Разбор примера
Разложим логарифм по основанию 2 от (8 × 4). По правилу произведения:
$$\log_{2}(8\cdot4) = \log_{2}8 + \log_{2}4 = 3 + 2 = 5$$Проверяем исходное выражение: \(\log_{2}(32) = 5\). Обе формы совпадают — значит, разложение выполнено верно.
Частые вопросы
Почему x и y должны быть положительными? Логарифм нуля или отрицательного числа не определён в области действительных чисел, поэтому все аргументы должны быть строго больше 0.
Может ли показатель p быть отрицательным или дробным? Да. Правило степени справедливо для любого действительного показателя, поэтому \(p\) может быть отрицательным (например, для корней и обратных величин) или десятичным.
Какое основание выбрать? Используйте 10 для десятичных логарифмов, \(e \approx 2{,}71828\) для натуральных или любое другое положительное число, кроме 1. Правила работают одинаково при любом основании.
