Калькулятор раскрытия скобок и упрощения выражений

Введите расчет

Коэффициент первого множителя (a)

Свободный член первого множителя (b)

умножить на

Коэффициент второго множителя (c)

Свободный член второго множителя (d)

Раскрывает и упрощает (a·x + b)(c·x + d) методом FOIL в A·x² + B·x + C.

Результатов

Expanded & Simplified Expression

1x² + 5x + 6

вид: A·x² + B·x + C

Коэффициент при x² (A = a·c)	1
Коэффициент при x (B = a·d + b·c)	5
Свободный член (C = b·d)	6

Что делает этот калькулятор

Этот калькулятор раскрытия скобок и упрощения выражений перемножает два линейных двучлена вида \((a\,x + b)(c\,x + d)\) и выдаёт упрощённый квадратный трёхчлен \(A\,x^{2} + B\,x + C\). Он применяет распределительный закон умножения — за рубежом его часто запоминают по аббревиатуре FOIL (First, Outer, Inner, Last — «первые, крайние, средние, последние»), а затем сам приводит подобные члены, так что вы сразу получаете аккуратный, полностью упрощённый ответ.

Как им пользоваться

Введите четыре числа: коэффициент и свободный член первого множителя (\(a\) и \(b\)), а также коэффициент и свободный член второго множителя (\(c\) и \(d\)). Калькулятор перемножает множители и выводит три коэффициента раскрытого многочлена: при \(x^{2}\), при \(x\) и свободный член.

Разбор формулы

Распределительный закон гласит: \(a(b + c) = ab + ac\). Распространив его на два двучлена, получаем правило FOIL:

$$\left(a\,x + b\right)\left(c\,x + d\right) = ac\,x^{2} + \left(ad + bc\right)x + bd$$

перемножаем первые члены (\(a\,x \cdot c\,x = ac\,x^{2}\)), крайние (\(a\,x \cdot d = ad\,x\)), средние (\(b \cdot c\,x = bc\,x\)) и последние (\(b \cdot d = bd\)). Сложив два средних члена с \(x\), получаем общий коэффициент \((ad + bc)\). Итоговая упрощённая форма — \(A\,x^{2} + B\,x + C\), где \(A = ac\), \(B = ad + bc\), \(C = bd\).

Четыре произведения складываются в стандартный квадратичный вид \(A\,x^{2}+B\,x+C\).

FOIL связывает каждую пару членов: Первые, Внешние, Внутренние, Последние.

Пример с решением

Раскроем \((2x + 3)(4x + 5)\). Здесь \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 4\), \(d = 5\).

$$A = 2\cdot 4 = 8$$$$B = 2\cdot 5 + 3\cdot 4 = 10 + 12 = 22$$$$C = 3\cdot 5 = 15$$

Получаем \(8x^{2} + 22x + 15\).

Частые вопросы

Можно ли раскрыть полный квадрат, например \((x + 3)^{2}\)? Да — введите его как \((1x + 3)(1x + 3)\): \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = 3\), и получите \(x^{2} + 6x + 9\).

Что делать, если в множителе нет члена с x? Поставьте соответствующий коэффициент равным \(0\). Например, \((0x + 2)(3x + 4)\) превращается в \(2(3x + 4) = 6x + 8\) и отображается как \(0x^{2} + 6x + 8\).

Работает ли он с отрицательными и дробными числами? Да. Вводите в любое поле отрицательные или десятичные числа — упрощённые коэффициенты считаются точно так же.