Что делает этот калькулятор
Калькулятор среднего и дисперсии отрицательного биномиального распределения возвращает первые два момента отрицательного биномиального распределения. В стандартной параметризации «число неудач до успехов» случайная величина X подсчитывает число неудач, происходящих до r-го успеха в последовательности независимых испытаний Бернулли, где каждое испытание завершается успехом с вероятностью p. Введите r и p, и инструмент выдаст среднее, дисперсию и стандартное отклонение X.
Как это работает
Каждое испытание — это независимый эксперимент «успех или неудача» с постоянной вероятностью успеха p. Вы продолжаете выборку, пока не накопите r успехов; X — это число неудач, наблюдённых по пути. Поскольку X можно записать как сумму r независимых геометрических величин, каждая из которых считает неудачи до одного успеха, его среднее и дисперсия ровно в r раз больше среднего и дисперсии одного геометрического слагаемого. Это даёт выражения в замкнутой форме, зависящие только от r и p.
Формула
Среднее, дисперсия и стандартное отклонение X равны:
$$\mu = \frac{r(1-p)}{p}$$ $$\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}$$ $$\sigma = \sqrt{r(1-p)}\,/\,p$$Здесь r — целевое число успехов, а p — вероятность успеха в одном испытании, при 0 < p <= 1. Обратите внимание, что дисперсия всегда больше среднего в 1/p раз, поэтому отрицательное биномиальное распределение является сверхдисперсным по сравнению с распределением Пуассона.
Разобранный пример
Предположим, вам нужно r = 5 успехов, и каждое испытание завершается успехом с вероятностью p = 0.5. Среднее число неудач до 5-го успеха равно 5(1 - 0.5)/0.5 = 5. Дисперсия равна 5(1 - 0.5)/0.5^2 = 2.5/0.25 = 10, поэтому стандартное отклонение равно sqrt(10), примерно 3.16. В среднем вы ожидаете около 5 неудач с типичным разбросом около 3 неудач вокруг этого среднего.
Часто задаваемые вопросы
Какую параметризацию отрицательного биномиального распределения использует калькулятор? Он использует стандартное соглашение «число неудач до r-го успеха», поэтому среднее равно r(1-p)/p. Если в вашем учебнике считается общее число испытаний, а не неудач, прибавьте r к среднему, чтобы перейти от одного соглашения к другому.
Должно ли r быть целым числом? Для классической интерпретации подсчёта r — положительное целое число, но формулы среднего и дисперсии остаются верными для любого действительного r > 0, что имеет место в обобщённом (Пойа) отрицательном биномиальном распределении.
Что происходит, когда p приближается к 1? Когда p близко к 1, почти каждое испытание успешно, поэтому неудач почти нет, и и среднее, и дисперсия стремятся к 0. По мере уменьшения p неудачи накапливаются, и оба момента быстро растут.
