Qué hace esta calculadora
La Calculadora de media y varianza binomial negativa devuelve los dos primeros momentos de una distribución binomial negativa. En la parametrización estándar de "fallos antes de los éxitos", la variable aleatoria X cuenta el número de fallos que ocurren antes del r-ésimo éxito en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes, donde cada ensayo tiene éxito con probabilidad p. Introduce r y p, y la herramienta indica la media, la varianza y la desviación estándar de X.
Cómo funciona
Cada ensayo es un experimento independiente de éxito o fallo con una probabilidad de éxito constante p. Sigues muestreando hasta acumular r éxitos; X es el número de fallos observados por el camino. Como X puede escribirse como la suma de r variables geométricas independientes, cada una contando los fallos antes de un único éxito, su media y su varianza son exactamente r veces la media y la varianza de un término geométrico. Esto da lugar a expresiones en forma cerrada que dependen solo de r y p.
Fórmula
La media, la varianza y la desviación estándar de X son:
$$\mu = \frac{r(1-p)}{p}$$ $$\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}$$ $$\sigma = \sqrt{r(1-p)}\,/\,p$$Aquí r es el número objetivo de éxitos y p es la probabilidad de éxito por ensayo, con 0 < p <= 1. Observa que la varianza siempre es mayor que la media por un factor de 1/p, por lo que la binomial negativa está sobredispersada respecto a la Poisson.
Ejemplo resuelto
Supón que necesitas r = 5 éxitos y que cada ensayo tiene éxito con probabilidad p = 0.5. El número medio de fallos antes del 5.º éxito es 5(1 - 0.5)/0.5 = 5. La varianza es 5(1 - 0.5)/0.5^2 = 2.5/0.25 = 10, por lo que la desviación estándar es sqrt(10), aproximadamente 3.16. En promedio esperas unos 5 fallos, con una dispersión típica de unos 3 fallos alrededor de esa media.
Preguntas frecuentes
¿Qué parametrización binomial negativa utiliza? Usa la convención estándar de "número de fallos antes del r-ésimo éxito", por lo que la media es r(1-p)/p. Si tu libro de texto cuenta el total de ensayos en lugar de los fallos, suma r a la media para pasar de una convención a la otra.
¿Tiene r que ser un número entero? Para la interpretación clásica de conteo, r es un entero positivo, pero las fórmulas de la media y la varianza siguen siendo válidas para cualquier r real > 0, que es el caso de la distribución binomial negativa generalizada (de Polya).
¿Qué ocurre cuando p se acerca a 1? Cuando p está cerca de 1 casi todos los ensayos tienen éxito, por lo que casi no hay fallos y tanto la media como la varianza tienden a 0. A medida que p se hace pequeño, los fallos se acumulan y ambos momentos crecen con rapidez.
