Ce que fait ce calculateur
Le calculateur de moyenne et variance binomiale négative renvoie les deux premiers moments d'une loi binomiale négative. Dans la paramétrisation standard « nombre d'échecs avant les succès », la variable aléatoire X compte le nombre d'échecs survenant avant le r-ième succès dans une suite d'essais de Bernoulli indépendants, où chaque essai réussit avec une probabilité p. Saisissez r et p, et l'outil indique la moyenne, la variance et l'écart type de X.
Comment ça fonctionne
Chaque essai est une expérience indépendante de type succès ou échec, avec une probabilité de succès constante p. Vous continuez à tirer jusqu'à avoir accumulé r succès ; X est le nombre d'échecs observés en cours de route. Comme X peut s'écrire comme la somme de r variables géométriques indépendantes, comptant chacune les échecs avant un unique succès, sa moyenne et sa variance valent exactement r fois la moyenne et la variance d'un seul terme géométrique. On obtient ainsi des expressions en forme close ne dépendant que de r et p.
Formule
La moyenne, la variance et l'écart type de X sont :
$$\mu = \frac{r(1-p)}{p}$$ $$\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}$$ $$\sigma = \sqrt{r(1-p)}\,/\,p$$Ici, r est le nombre de succès visé et p la probabilité de succès par essai, avec 0 < p <= 1. Notez que la variance est toujours supérieure à la moyenne d'un facteur 1/p ; la loi binomiale négative est donc surdispersée par rapport à la loi de Poisson.
Exemple résolu
Supposons que vous ayez besoin de r = 5 succès et que chaque essai réussisse avec une probabilité p = 0.5. Le nombre moyen d'échecs avant le 5e succès est 5(1 - 0.5)/0.5 = 5. La variance est 5(1 - 0.5)/0.5^2 = 2.5/0.25 = 10, si bien que l'écart type est sqrt(10), soit environ 3.16. En moyenne, vous attendez à peu près 5 échecs, avec une dispersion typique d'environ 3 échecs autour de cette moyenne.
FAQ
Quelle paramétrisation de la loi binomiale négative est utilisée ? Elle emploie la convention standard « nombre d'échecs avant le r-ième succès », si bien que la moyenne vaut r(1-p)/p. Si votre manuel compte le nombre total d'essais plutôt que les échecs, ajoutez r à la moyenne pour passer d'une convention à l'autre.
r doit-il être un entier ? Pour l'interprétation classique du comptage, r est un entier positif, mais les formules de la moyenne et de la variance restent valables pour tout réel r > 0, ce qui correspond à la loi binomiale négative généralisée (de Pólya).
Que se passe-t-il lorsque p tend vers 1 ? Lorsque p est proche de 1, presque tous les essais réussissent : il n'y a quasiment aucun échec, et la moyenne comme la variance tendent vers 0. Lorsque p devient petit, les échecs s'accumulent et les deux moments croissent rapidement.
