この計算ツールでできること
負の二項分布の平均・分散計算ツールは、負の二項分布の最初の 2 つのモーメントを返します。標準的な「成功までの失敗回数」というパラメータ化では、確率変数 X は、独立なベルヌーイ試行の列において r 回目の成功が起こるまでに生じる失敗の回数を数えます。ここで各試行は確率 p で成功します。r と p を入力すると、このツールは X の平均・分散・標準偏差を表示します。
仕組み
各試行は、一定の成功確率 p を持つ独立な成功・失敗の実験です。r 回の成功が積み重なるまで試行を続け、X はその過程で観測された失敗の回数です。X は、それぞれ 1 回の成功までの失敗回数を数える r 個の独立な幾何変数の和として書けるため、その平均と分散は 1 つの幾何項の平均と分散のちょうど r 倍になります。これにより、r と p のみに依存する閉じた形の式が得られます。
計算式
X の平均・分散・標準偏差は次のとおりです。
$$\mu = \frac{r(1-p)}{p}$$ $$\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}$$ $$\sigma = \sqrt{r(1-p)}\,/\,p$$ここで r は目標とする成功回数、p は 1 試行あたりの成功確率であり、0 < p <= 1 です。分散は常に平均の 1/p 倍だけ大きくなるため、負の二項分布はポアソン分布に対して過分散になることに注意してください。
計算例
r = 5 回の成功が必要で、各試行が確率 p = 0.5 で成功するとします。5 回目の成功までの失敗回数の平均は 5(1 - 0.5)/0.5 = 5 です。分散は 5(1 - 0.5)/0.5^2 = 2.5/0.25 = 10 なので、標準偏差は sqrt(10)、およそ 3.16 です。平均するとおよそ 5 回の失敗が見込まれ、その平均のまわりで典型的にはおよそ 3 回のばらつきがあります。
よくある質問
どの負の二項分布のパラメータ化を使っていますか？ 標準的な「r 回目の成功までの失敗回数」という規約を使うため、平均は r(1-p)/p です。教科書が失敗回数ではなく総試行回数を数えている場合は、規約を変換するために平均に r を加えてください。
r は整数でなければなりませんか？ 古典的な計数の解釈では r は正の整数ですが、平均と分散の式は任意の実数 r > 0 に対して成り立ちます。これは一般化された（ポリア）負の二項分布の場合です。
p が 1 に近づくとどうなりますか？ p が 1 に近いとほとんどの試行が成功するため、失敗はほとんど起こらず、平均も分散もともに 0 に近づきます。p が小さくなると失敗が積み重なり、両方のモーメントが急速に大きくなります。
