यह कैलकुलेटर क्या करता है
ऋणात्मक द्विपद माध्य और प्रसरण कैलकुलेटर किसी ऋणात्मक द्विपद बंटन के पहले दो आघूर्ण (moments) लौटाता है। मानक "सफलताओं से पहले असफलताएँ" पैरामीटरीकरण में, यादृच्छिक चर X स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों के अनुक्रम में r-वीं सफलता से पहले होने वाली असफलताओं की संख्या गिनता है, जहाँ प्रत्येक परीक्षण प्रायिकता p के साथ सफल होता है। r और p दर्ज करें, और यह उपकरण X का माध्य, प्रसरण और मानक विचलन बताता है।
यह कैसे काम करता है
प्रत्येक परीक्षण एक स्वतंत्र सफलता-या-असफलता प्रयोग है जिसमें स्थिर सफलता प्रायिकता p होती है। आप तब तक प्रतिचयन (sampling) करते रहते हैं जब तक r सफलताएँ जमा नहीं हो जातीं; X इस दौरान देखी गई असफलताओं की संख्या है। चूँकि X को r स्वतंत्र ज्यामितीय चरों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक एक सफलता से पहले की असफलताओं को गिनता है, इसका माध्य और प्रसरण ठीक एक ज्यामितीय पद के माध्य और प्रसरण का r गुना होते हैं। इससे बंद-रूप (closed-form) व्यंजक प्राप्त होते हैं जो केवल r और p पर निर्भर करते हैं।
सूत्र
X का माध्य, प्रसरण और मानक विचलन इस प्रकार हैं:
$$\mu = \frac{r(1-p)}{p}$$ $$\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}$$ $$\sigma = \sqrt{r(1-p)}\,/\,p$$यहाँ r सफलताओं की लक्षित संख्या है और p प्रति-परीक्षण सफलता प्रायिकता है, जहाँ 0 < p <= 1। ध्यान दें कि प्रसरण हमेशा माध्य से 1/p गुना अधिक होता है, इसलिए ऋणात्मक द्विपद बंटन प्वासों बंटन की तुलना में अति-प्रकीर्णित (over-dispersed) होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए आपको r = 5 सफलताएँ चाहिए और प्रत्येक परीक्षण प्रायिकता p = 0.5 के साथ सफल होता है। 5वीं सफलता से पहले असफलताओं की औसत संख्या 5(1 - 0.5)/0.5 = 5 है। प्रसरण 5(1 - 0.5)/0.5^2 = 2.5/0.25 = 10 है, इसलिए मानक विचलन sqrt(10) है, जो लगभग 3.16 है। औसतन आप लगभग 5 असफलताओं की अपेक्षा करते हैं, जिनका उस माध्य के आसपास सामान्य प्रसार लगभग 3 असफलताओं का होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह कौन-सा ऋणात्मक द्विपद पैरामीटरीकरण उपयोग करता है? यह मानक "r-वीं सफलता से पहले असफलताओं की संख्या" परिपाटी का उपयोग करता है, इसलिए माध्य r(1-p)/p होता है। यदि आपकी पाठ्यपुस्तक असफलताओं के बजाय कुल परीक्षणों को गिनती है, तो दोनों परिपाटियों के बीच रूपांतरण के लिए माध्य में r जोड़ें।
क्या r का पूर्ण संख्या होना आवश्यक है? शास्त्रीय गणना व्याख्या के लिए r एक धनात्मक पूर्णांक होता है, लेकिन माध्य और प्रसरण के सूत्र किसी भी वास्तविक r > 0 के लिए मान्य रहते हैं, जो सामान्यीकृत (Polya) ऋणात्मक द्विपद बंटन का मामला है।
जब p, 1 के निकट पहुँचता है तो क्या होता है? जब p 1 के करीब होता है तो लगभग हर परीक्षण सफल हो जाता है, इसलिए लगभग कोई असफलता नहीं होती और माध्य तथा प्रसरण दोनों 0 की ओर पहुँचते हैं। जैसे-जैसे p छोटा होता जाता है, असफलताएँ जमा होती जाती हैं और दोनों आघूर्ण तेज़ी से बढ़ते हैं।
