Công cụ này làm gì
Máy tính trung bình và phương sai nhị thức âm trả về hai mô-men đầu tiên của phân phối nhị thức âm. Trong cách tham số hóa chuẩn "số lần thất bại trước khi thành công", biến ngẫu nhiên X đếm số lần thất bại xảy ra trước lần thành công thứ r trong một chuỗi các phép thử Bernoulli độc lập, trong đó mỗi phép thử thành công với xác suất p. Nhập r và p, công cụ sẽ báo cáo trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Cách hoạt động
Mỗi phép thử là một thí nghiệm thành công-hoặc-thất bại độc lập với xác suất thành công không đổi p. Bạn tiếp tục lấy mẫu cho đến khi tích lũy đủ r lần thành công; X là số lần thất bại quan sát được dọc đường. Vì X có thể được viết dưới dạng tổng của r biến hình học độc lập, mỗi biến đếm số lần thất bại trước một lần thành công, nên trung bình và phương sai của nó đúng bằng r lần trung bình và phương sai của một số hạng hình học. Điều này cho ra các biểu thức dạng đóng chỉ phụ thuộc vào r và p.
Công thức
Trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của X là:
$$\mu = \frac{r(1-p)}{p}$$ $$\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}$$ $$\sigma = \sqrt{r(1-p)}\,/\,p$$Ở đây r là số lần thành công mục tiêu và p là xác suất thành công mỗi phép thử, với 0 < p <= 1. Lưu ý rằng phương sai luôn lớn hơn trung bình một hệ số 1/p, nên phân phối nhị thức âm phân tán vượt mức so với phân phối Poisson.
Ví dụ minh họa
Giả sử bạn cần r = 5 lần thành công và mỗi phép thử thành công với xác suất p = 0.5. Số lần thất bại trung bình trước lần thành công thứ 5 là 5(1 - 0.5)/0.5 = 5. Phương sai là 5(1 - 0.5)/0.5^2 = 2.5/0.25 = 10, nên độ lệch chuẩn là sqrt(10), khoảng 3.16. Trung bình bạn kỳ vọng khoảng 5 lần thất bại, với độ trải điển hình khoảng 3 lần thất bại quanh giá trị trung bình đó.
Câu hỏi thường gặp
Công cụ dùng cách tham số hóa nhị thức âm nào? Nó dùng quy ước chuẩn "số lần thất bại trước lần thành công thứ r", nên trung bình là r(1-p)/p. Nếu sách giáo khoa của bạn đếm tổng số phép thử thay vì số lần thất bại, hãy cộng r vào trung bình để chuyển đổi giữa hai quy ước.
r có bắt buộc phải là số nguyên không? Với cách hiểu đếm cổ điển thì r là số nguyên dương, nhưng các công thức trung bình và phương sai vẫn đúng với mọi số thực r > 0, đây là trường hợp của phân phối nhị thức âm tổng quát (Polya).
Điều gì xảy ra khi p tiến tới 1? Khi p gần 1, hầu như mọi phép thử đều thành công, nên gần như không có lần thất bại nào và cả trung bình lẫn phương sai đều tiến tới 0. Khi p nhỏ dần, các lần thất bại tích lũy lại và cả hai mô-men đều tăng nhanh.
