Phân phối nhị thức là gì?
Phân phối nhị thức mô tả số lần thành công x trong một số phép thử độc lập cố định n, trong đó mỗi phép thử có cùng xác suất thành công p (phép thử Bernoulli). Nó trả lời những câu hỏi kiểu như "xác suất tung được đúng 5 mặt ngửa trong 20 lần tung đồng xu là bao nhiêu?". Đây là toán học thuần túy và áp dụng giống hệt nhau ở mọi nơi, không phụ thuộc vào đơn vị hay quốc gia nào.
Cách sử dụng máy tính
Trước tiên hãy chọn hàm cần tính: hàm khối xác suất \(f(x)\) (xác suất có đúng \(x\) lần thành công), tích lũy dưới \(P(X \le x)\), hoặc tích lũy trên \(Q(X \ge x)\). Nhập số phép thử \(n\), xác suất thành công của mỗi phép thử \(p\) (nằm trong khoảng từ 0 đến 1), sau đó chọn số lần thành công ban đầu (giá trị \(x\) đầu tiên), bước nhảy giữa các dòng và số dòng cần tạo. Công cụ sẽ lập bảng và vẽ hàm đã chọn dưới dạng biểu đồ tần suất rời rạc với các cột liền sát nhau.
Giải thích công thức
Hàm khối xác suất là
$$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{\,x}\,(1-p)^{\,n-x}$$trong đó \(\binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!(n-x)!}\) là hệ số nhị thức. Tích lũy dưới \(P(x)\) là tổng của \(f\) với \(t = 0..x\), còn tích lũy trên \(Q(x)\) là tổng của \(f\) với \(t = x..n\). Để tránh tràn số khi tính giai thừa với \(n\) lớn, máy tính này tính hệ số bằng hàm log-gamma:
$$\ln f = \ln\Gamma(n+1) - \ln\Gamma(x+1) - \ln\Gamma(n-x+1) + x\cdot\ln p + (n-x)\cdot\ln(1-p)$$Kỳ vọng (giá trị trung bình) của phân phối là \(np\) và phương sai là \(np(1-p)\).
Ví dụ minh họa
Với \(n = 20\), \(p = 0{,}25\), khi tính PMF tại \(x = 0..12\) ta được: \(f(0) \approx 0{,}003171\), \(f(1) \approx 0{,}021142\), \(f(2) \approx 0{,}066948\), \(f(3) \approx 0{,}133897\), \(f(4) \approx 0{,}189691\) và \(f(5) \approx 0{,}202337\). Đỉnh xuất hiện tại \(x = 5\), đúng bằng giá trị trung bình
$$np = 20 \times 0{,}25 = 5$$hoàn toàn như mong đợi.
Định Nghĩa & Bảng Thuật Ngữ
- Phép thử: Một lần lặp lại của một thí nghiệm ngẫu nhiên với một tập hợp kết quả cố định, được xác định rõ ràng.
- Phép thử Bernoulli: Một phép thử có chính xác hai kết quả loại trừ lẫn nhau, thường được gọi là "thành công" và "thất bại".
- Xác suất thành công \(p\): Xác suất mà một phép thử dẫn đến thành công, với \(0 \le p \le 1\). Giả định rằng nó không đổi trên tất cả các phép thử.
- Số phép thử \(n\): Số lượng cố định các phép thử Bernoulli độc lập trong thí nghiệm, một số nguyên không âm.
- Số lần thành công \(x\): Số lần thành công được quan sát trong \(n\) phép thử; \(x\) là một số nguyên với \(0 \le x \le n\).
- Hàm khối xác suất \(f(x)\): Hàm khối xác suất, cho xác suất của chính xác \(x\) lần thành công: \(f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\).
- Xác suất tích lũy dưới \(P(X\le x)\): Hàm phân phối tích lũy, xác suất của tối đa \(x\) lần thành công: \(P(X\le x)=\sum_{k=0}^{x} f(k)\).
- Xác suất tích lũy trên \(Q(X\ge x)\): Xác suất của ít nhất \(x\) lần thành công: \(Q(X\ge x)=\sum_{k=x}^{n} f(k)=1-P(X\le x-1)\).
- Hệ số nhị thức \(\binom{n}{x}\): Số cách khác nhau để chọn \(x\) lần thành công từ \(n\) phép thử, \(\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}\).
- Giá trị kỳ vọng \(np\): Số lần thành công dự kiến, \(\mu = np\).
- Phương sai \(np(1-p)\): Phương sai của số lần thành công, \(\sigma^{2}=np(1-p)\); độ lệch chuẩn là \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\).
Giải Thích Kết Quả Của Bạn
Ba đại lượng này trả lời ba câu hỏi khác nhau về cùng một thí nghiệm:
- \(f(x)\) — chính xác \(x\): xác suất nhận được chính xác \(x\) lần thành công và không có số nào khác. Sử dụng cái này cho các câu hỏi "chính xác k".
- \(P(X\le x)\) — tối đa \(x\): xác suất mà số lần thành công không vượt quá \(x\). Sử dụng cái này cho các câu hỏi "tối đa k," "không quá k," hoặc "ít hơn k+1".
- \(Q(X\ge x)\) — ít nhất \(x\): xác suất có \(x\) hoặc nhiều hơn lần thành công. Sử dụng cái này cho các câu hỏi "ít nhất k," "k hoặc nhiều hơn," hoặc "nhiều hơn k−1".
Ánh xạ một câu hỏi thực tế đến một hàm. Dịch cẩn thận từ ngữ, chú ý đến ranh giới:
- "Ít nhất \(k\)" \(\Rightarrow Q(X\ge k)\).
- "Nhiều hơn \(k\)" \(\Rightarrow Q(X\ge k+1) = 1 - P(X\le k)\).
- "Tối đa \(k\)" \(\Rightarrow P(X\le k)\).
- "Ít hơn \(k\)" \(\Rightarrow P(X\le k-1)\).
- "Giữa \(a\) và \(b\) (bao gồm)" \(\Rightarrow P(X\le b) - P(X\le a-1)\).
Sự trùng lặp của \(P\)/\(Q\). Vì cả \(P(X\le x)\) và \(Q(X\ge x)\) đều bao gồm số hạng \(f(x)\), chúng không bổ sung cho nhau tại cùng một \(x\). Thực tế là \(P(X\le x) + Q(X\ge x) = 1 + f(x)\), do đó hai đuôi tích lũy trùng lặp chính xác tại một điểm khối lượng. Phần bù thực của \(Q(X\ge x)\) là \(P(X\le x-1)\), không phải là \(P(X\le x)\).
Xấp xỉ bình thường. Khi cả \(np\) và \(n(1-p)\) đều khá lớn (một quy tắc chung là mỗi cái \(\ge 5\), lý tưởng là \(\ge 10\)), nhị thức được xấp xỉ tốt bởi phân phối chuẩn với giá trị kỳ vọng \(\mu = np\) và độ lệch chuẩn \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\). Áp dụng hiệu chỉnh liên tục (ví dụ: sử dụng \(x+0.5\) hoặc \(x-0.5\)) khi chuyển đổi một số lượng rời rạc sang thang đo chuẩn liên tục. Đối với \(n\) lớn với \(p\) nhỏ (sao cho \(np\) vẫn vừa phải), phân phối Poisson với \(\lambda = np\) là xấp xỉ chính xác hơn.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao \(P(x) + Q(x)\) không bằng 1? Cả hai giá trị tích lũy đều bao gồm điểm \(t = x\), nên \(P(x) + Q(x) = 1 + f(x)\). Quy ước chồng lấp này (tích lũy dưới bao gồm \(x\), tích lũy trên cũng bao gồm \(x\)) được dùng ở đây một cách có chủ đích.
Nếu \(x\) nằm ngoài khoảng \(0..n\) thì sao? Khi đó PMF bằng 0; tích lũy dưới bị chặn về 0 (khi \(x < 0\)) hoặc về 1 (khi \(x \ge n\)), còn tích lũy trên bị chặn về 1 (khi \(x \le 0\)) hoặc về 0 (khi \(x > n\)).
Tôi có thể dùng \(n\) lớn không? Có. Cách tính bằng log-gamma giúp kết quả ổn định với \(n\) lớn, ở những trường hợp mà việc tính giai thừa trực tiếp sẽ gây tràn số.
