Máy tính điểm phân vị phân phối nhị thức là gì?
Công cụ này đảo ngược hàm phân phối tích lũy (CDF) của phân phối nhị thức B(n, p). Khi bạn cho trước một xác suất tích lũy mục tiêu, máy tính sẽ trả về giá trị x — tức điểm phân vị — tại đó xác suất ấy được đạt tới. Vì phân phối nhị thức là phân phối rời rạc, nên kết quả được nội suy liên tục giữa hai giá trị nguyên liền kề; do đó x thường không phải là một số nguyên.
Cách sử dụng
Trước tiên, hãy chọn kiểu tích lũy: Tích lũy dưới P xem xác suất của bạn là \(P(X \le x)\); Tích lũy trên Q xem nó là \(P(X \ge x)\). Tiếp theo, nhập xác suất tích lũy mục tiêu (nằm trong khoảng từ 0 đến 1), số phép thử \(n\) và xác suất thành công \(p\) của một lần thử. Máy tính sẽ trả về điểm phân vị \(x\) cho bạn.
Giải thích công thức
Hàm khối xác suất là $$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{x}\,(1-p)^{\,n-x}.$$ Hàm phân phối tích lũy dưới là $$P(x) = \sum_{t=0}^{x} f(t).$$ Công cụ tính \(F(k)\) cho mọi số nguyên \(k\), tìm bước mà tại đó \(F(k-1) < P \le F(k)\), rồi nội suy: $$x = (k-1) + \frac{P - F(k-1)}{F(k) - F(k-1)}.$$ Ở chế độ tích lũy trên, máy tính dùng đuôi bù \(G(k) = P(X \ge k)\) theo cách tương tự.
Ví dụ minh họa
Với \(n = 20\), \(p = 0{,}25\) và tích lũy dưới \(P = 0{,}3\): hàm CDF cho \(F(3) = 0{,}225156\) và \(F(4) = 0{,}414842\). Vì \(0{,}3\) rơi vào bước này nên $$x = 3 + \frac{0{,}3 - 0{,}225156}{0{,}414842 - 0{,}225156} = 3 + 0{,}394672 = 3{,}3947.$$
Định nghĩa & Thuật ngữ
Phân bố nhị thức \(B(n,p)\) mô hình hóa số lần thành công \(X\) trong \(n\) phép thử độc lập, mỗi phép thử có xác suất thành công \(p\). Máy tính này đảo ngược hàm phân bố tích lũy (CDF) của nó để tìm điểm phần vị \(x\) tương ứng với xác suất tích lũy đã chọn.
- Số phép thử \(n\)
- Số lượng cố định của các phép thử Bernoulli độc lập. Phải là một số nguyên dương. Trong biểu mẫu này là trường trials.
- Xác suất thành công \(p\)
- Xác suất thành công trong một phép thử, với \(0 \le p \le 1\). Giá trị tương tự áp dụng cho mỗi phép thử. Trong biểu mẫu này là successProbability.
- Hàm khối xác suất (PMF)
- Xác suất của chính xác \(k\) lần thành công: \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\) cho \(k = 0,1,\dots,n\).
- Hàm phân bố tích lũy (CDF)
- Tổng chạy của PMF lên đến và bao gồm \(k\): \(F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X\le k)\). Đây là hàm bước không giảm mà nhảy tại mỗi số nguyên.
- Tích lũy dưới \(P = P(X \le x)\)
- Xác suất rằng số lần thành công nhiều nhất là \(x\). Khi bạn chọn chế độ dưới (cumulativeMode = lower), máy tính trả về \(x\) nhỏ nhất với \(F(x) \ge P\).
- Tích lũy trên \(Q = P(X \ge x)\)
- Xác suất rằng số lần thành công ít nhất là \(x\). Bởi vì giá trị hỗ trợ là rời rạc, \(P(X\ge x)=1-F(x-1)\). Trong chế độ trên, máy tính trả về \(x\) nhỏ nhất sao cho \(P(X\ge x)\le Q\) (tương đương với đuôi lớn nhất mà khối lượng không vượt quá \(Q\)).
- Điểm phần vị \(x\)
- Số lần thành công ở xác suất tích lũy được yêu cầu — giá trị định lượng hoặc CDF nghịch đảo. Ví dụ, phần vị thứ 90 là \(x\) nhỏ nhất với \(F(x)\ge 0,90\).
- Nội suy trong một bước
- Vì CDF nhị thức là hàm bước, xác suất mục tiêu chính xác thường nằm giữa hai giá trị nguyên \(k-1\) và \(k\). Nội suy tuyến tính ước tính phần vị liên tục là \(x \approx (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}\), trong đó \(F(k)-F(k-1)=P(X=k)\). Điểm phần vị nguyên tự nó luôn luôn là \(k\); nội suy chỉ là một tinh chỉnh phân số để báo cáo.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao x không phải số nguyên? Hàm CDF nhị thức là một hàm bậc thang. Để trả về một điểm phân vị có ý nghĩa, công cụ nội suy tuyến tính bên trong bước chứa xác suất mục tiêu của bạn.
Điều gì xảy ra khi P = 1? Toàn bộ phân phối đã được bao phủ, nên \(x\) bằng \(n\). Khi \(P = 0\) thì \(x\) bằng 0.
Nếu p = 0 hoặc p = 1 thì sao? Toàn bộ khối xác suất tập trung tại \(x = 0\) hoặc \(x = n\) tương ứng, và điểm phân vị phản ánh đúng trường hợp suy biến này.
