द्विपद बंटन परसेंटाइल पॉइंट कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल द्विपद बंटन B(n, p) के संचयी बंटन फलन (CDF) को उलट देता है। जब आप कोई लक्ष्य संचयी प्रायिकता देते हैं, तो यह वह मान x — यानी परसेंटाइल पॉइंट — लौटाता है जिस पर वह प्रायिकता प्राप्त होती है। चूँकि द्विपद बंटन असांतत (discrete) होता है, इसलिए परिणाम आसपास के पूर्णांक मानों के बीच एक सतत प्रक्षेप (interpolation) के रूप में आता है — इसी वजह से x प्रायः कोई पूर्णांक नहीं होता।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले संचयी मोड चुनें: निचली संचयी P आपकी प्रायिकता को \(P(X \le x)\) के रूप में लेती है; ऊपरी संचयी Q इसे \(P(X \ge x)\) के रूप में लेती है। इसके बाद लक्ष्य संचयी प्रायिकता (0 और 1 के बीच), परीक्षणों की संख्या \(n\), और एक परीक्षण की सफलता प्रायिकता \(p\) भरें। कैलकुलेटर आपको परसेंटाइल पॉइंट \(x\) लौटा देगा।
सूत्र की व्याख्या
प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) है $$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{x}\,(1-p)^{\,n-x}.$$ निचला संचयी बंटन \(P(x)\) = \(t = 0..x\) के लिए \(f(t)\) का योग होता है। टूल हर पूर्णांक \(k\) के लिए \(F(k)\) निकालता है, वह चरण ढूँढता है जहाँ \(F(k-1) < P \le F(k)\), और फिर प्रक्षेप करता है: $$x = (k-1) + \frac{P - F(k-1)}{F(k) - F(k-1)}.$$ ऊपरी मोड में इसी तरह पूरक पुच्छ (complementary tail) \(G(k) = P(X \ge k)\) का उपयोग होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(n = 20\), \(p = 0.25\), निचली संचयी \(P = 0.3\): CDF से \(F(3) = 0.225156\) और \(F(4) = 0.414842\) मिलता है। चूँकि 0.3 इसी चरण में आता है, इसलिए $$x = 3 + \frac{0.3 - 0.225156}{0.414842 - 0.225156} = 3 + 0.394672 = 3.3947.$$
परिभाषाएँ और शब्दावली
द्विपद वितरण \(B(n,p)\) \(n\) स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताओं की संख्या \(X\) को मॉडल करता है, जहाँ प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना \(p\) है। यह कैलकुलेटर इसके संचयी वितरण फ़ंक्शन (CDF) को उलट देता है ताकि प्रतिशतक बिंदु \(x\) को खोजा जा सके जो चुनी गई संचयी संभावना के अनुरूप है।
- परीक्षण \(n\)
- स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों की निश्चित संख्या। एक सकारात्मक पूर्णांक होना चाहिए। फॉर्म में यह फील्ड trials है।
- सफलता की संभावना \(p\)
- एक एकल परीक्षण में सफलता की संभावना, जहाँ \(0 \le p \le 1\)। समान मान प्रत्येक परीक्षण पर लागू होता है। फॉर्म में यह successProbability है।
- संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन (PMF)
- बिल्कुल \(k\) सफलताओं की संभावना: \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\) जहाँ \(k = 0,1,\dots,n\)।
- संचयी वितरण फ़ंक्शन (CDF)
- PMF का चलता योग \(k\) तक और इसे सहित: \(F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X\le k)\)। यह एक गैर-घटता हुआ चरणीय फ़ंक्शन है जो प्रत्येक पूर्णांक पर कूदता है।
- निचला संचयी \(P = P(X \le x)\)
- सफलताओं की संख्या \(x\) से अधिकतम होने की संभावना। जब आप निचला मोड चुनते हैं (cumulativeMode = lower), कैलकुलेटर सबसे छोटा \(x\) लौटाता है जिसके लिए \(F(x) \ge P\)।
- ऊपरी संचयी \(Q = P(X \ge x)\)
- सफलताओं की संख्या कम से कम \(x\) होने की संभावना। क्योंकि समर्थन असतत है, \(P(X\ge x)=1-F(x-1)\)। ऊपरी मोड में कैलकुलेटर सबसे छोटा \(x\) लौटाता है जिससे कि \(P(X\ge x)\le Q\) (समतुल्य रूप से सबसे बड़ी पूँछ जिसका द्रव्यमान \(Q\) को पार न करे)।
- प्रतिशतक बिंदु \(x\)
- अनुरोधित संचयी संभावना पर सफलता की गणना — मात्रा या प्रतिलोम-CDF मान। उदाहरण के लिए, 90वाँ प्रतिशतक सबसे छोटा \(x\) है जिसके लिए \(F(x)\ge 0.90\)।
- एक चरण के भीतर प्रक्षेप
- क्योंकि द्विपद CDF एक चरणीय फ़ंक्शन है, एक सटीक लक्ष्य संभावना आमतौर पर दो पूर्णांक मानों \(k-1\) और \(k\) के बीच गिरती है। एक रैखिक प्रक्षेप एक सतत प्रतिशतक का अनुमान लगाता है जैसे \(x \approx (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}\), जहाँ \(F(k)-F(k-1)=P(X=k)\)। पूर्णांक प्रतिशतक बिंदु स्वयं हमेशा \(k\) है; प्रक्षेप केवल रिपोर्टिंग के लिए एक भिन्नात्मक परिष्कार है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
x पूर्णांक क्यों नहीं है? द्विपद CDF एक सीढ़ीनुमा (step) फलन होता है। एक सार्थक परसेंटाइल देने के लिए टूल उस चरण के भीतर रैखिक प्रक्षेप करता है जिसमें आपकी लक्ष्य प्रायिकता आती है।
P = 1 पर क्या होता है? पूरा बंटन समाहित हो जाता है, इसलिए \(x\) बराबर \(n\) हो जाता है। \(P = 0\) पर \(x\) बराबर 0 होता है।
यदि p = 0 या p = 1 हो तो? ऐसे में पूरा द्रव्यमान क्रमशः \(x = 0\) या \(x = n\) पर केंद्रित रहता है, और परसेंटाइल पॉइंट इसी विकृत (degenerate) स्थिति को दर्शाता है।
