Calculateur de point centile de la loi binomiale

Nombre d'essais n	20
Probabilité de succès p	0,25
Probabilité cumulée cible	0,3

À quoi sert le calculateur de point centile de la loi binomiale ?

Cet outil inverse la fonction de répartition (FdR) d'une loi binomiale B(n, p). À partir d'une probabilité cumulée cible, il renvoie la valeur x — le point centile — pour laquelle cette probabilité est atteinte. Comme la loi binomiale est discrète, le résultat correspond à une interpolation continue entre les deux valeurs entières qui l'encadrent ; x n'est donc généralement pas un nombre entier.

Diagramme en barres d'une loi binomiale avec l'aire cumulée mise en évidence jusqu'à un percentile — Le point percentile x est la plus petite valeur où la probabilité cumulée atteint la cible P.

Comment l'utiliser

Sélectionnez un mode cumulé : Cumul inférieur P interprète votre probabilité comme $P(X \le x)$ ; Cumul supérieur Q la traite comme $P(X \ge x)$. Saisissez ensuite la probabilité cumulée cible (comprise entre 0 et 1), le nombre d'essais $n$ et la probabilité de succès $p$ d'un essai unique. Le calculateur affiche alors le point centile $x$.

La formule expliquée

La fonction de masse de probabilité s'écrit $$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{x}\,(1-p)^{\,n-x}.$$ La fonction de répartition inférieure est $$P(x) = \sum_{t=0}^{x} f(t).$$ L'outil calcule $F(k)$ pour chaque entier $k$, repère le palier où $F(k-1) < P \le F(k)$, puis interpole : $$x = (k-1) + \frac{P - F(k-1)}{F(k) - F(k-1)}.$$ Le mode supérieur applique le même raisonnement à la queue complémentaire $G(k) = P(X \ge k)$.

Courbe CDF en escalier montrant l'interpolation entre deux valeurs cumulées pour trouver le percentile — Inverser la CDF : la probabilité cible se situe entre F(k-1) et F(k), et x est interpolé dans cet intervalle.

Exemple concret

Avec $n = 20$, $p = 0{,}25$ et un cumul inférieur $P = 0{,}3$ : la FdR donne $F(3) = 0{,}225156$ et $F(4) = 0{,}414842$. Comme $0{,}3$ se situe dans ce palier, $$x = 3 + \frac{0{,}3 - 0{,}225156}{0{,}414842 - 0{,}225156} = 3 + 0{,}394672 = 3{,}3947.$$

Définitions et glossaire

La distribution binomiale $B(n,p)$ modélise le nombre de succès $X$ dans $n$ essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès $p$. Cette calculatrice inverse sa fonction de distribution cumulative (CDF) pour trouver le point percentile $x$ qui correspond à une probabilité cumulative choisie.

Essais $n$: Le nombre fixe d'essais de Bernoulli indépendants. Doit être un entier positif. Dans le formulaire, c'est le champ trials.
Probabilité de succès $p$: La probabilité d'un succès dans un essai unique, avec $0 \le p \le 1$. La même valeur s'applique à chaque essai. Dans le formulaire, c'est successProbability.
Fonction de masse de probabilité (PMF): La probabilité d'exactement $k$ succès : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ pour $k = 0,1,\dots,n$.
Fonction de distribution cumulative (CDF): Le total courant de la PMF jusqu'à et y compris $k$ : $F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X\le k)$. C'est une fonction en escalier non décroissante qui sauте à chaque entier.
Cumulative inférieure $P = P(X \le x)$: La probabilité que le nombre de succès soit au plus $x$. Lorsque vous sélectionnez le mode inférieur (cumulativeMode = lower), la calculatrice retourne le plus petit $x$ avec $F(x) \ge P$.
Cumulative supérieure $Q = P(X \ge x)$: La probabilité que le nombre de succès soit au moins $x$. Parce que le support est discret, $P(X\ge x)=1-F(x-1)$. En mode supérieur, la calculatrice retourne le plus petit $x$ tel que $P(X\ge x)\le Q$ (de façon équivalente la queue la plus grande dont la masse ne dépasse pas $Q$).
Point percentile $x$: Le nombre de succès à la probabilité cumulative demandée — la valeur quantile ou inverse-CDF. Par exemple, le 90e percentile est le plus petit $x$ avec $F(x)\ge 0.90$.
Interpolation à l'intérieur d'une marche: Parce que la CDF binomiale est une fonction en escalier, une probabilité cible exacte tombe généralement entre deux valeurs entières $k-1$ et $k$. Une interpolation linéaire estime un percentile continu comme $x \approx (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}$, où $F(k)-F(k-1)=P(X=k)$. Le point percentile entier lui-même est toujours $k$ ; l'interpolation est seulement un raffinement fractionnaire pour le rapport.

FAQ

Pourquoi x n'est-il pas un entier ? La fonction de répartition binomiale est une fonction en escalier. Pour fournir un centile pertinent, l'outil effectue une interpolation linéaire à l'intérieur du palier qui contient votre probabilité cible.

Que se passe-t-il pour $P = 1$ ? La distribution est entièrement couverte, donc $x$ est égal à $n$. Pour $P = 0$, $x$ vaut 0.

Et si $p = 0$ ou $p = 1$ ? Toute la masse se concentre respectivement en $x = 0$ ou $x = n$, et le point centile reflète ce cas dégénéré.