Qu'est-ce qu'une fraction égyptienne ?
Une fraction égyptienne exprime un nombre rationnel positif sous la forme d'une somme de fractions unitaires distinctes, c'est-à-dire de fractions dont le numérateur vaut 1, comme \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) ou \(\frac{1}{7}\). Les anciens Égyptiens écrivaient toutes leurs fractions de cette manière (à l'exception d'un symbole particulier réservé à \(\frac{2}{3}\)). Ce calculateur convertit automatiquement toute fraction propre que vous saisissez en une somme de ce type.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez le numérateur et le dénominateur d'une fraction propre (numérateur inférieur au dénominateur). Le calculateur réduit d'abord la fraction à sa forme irréductible, puis applique l'algorithme glouton et affiche la décomposition complète ainsi que le nombre de fractions unitaires obtenues.
La formule expliquée
La méthode gloutonne, attribuée à Fibonacci et Sylvester, consiste à retirer de façon répétée la plus grande fraction unitaire possible. Pour un reste \(\frac{a}{b}\), le dénominateur suivant est
$$d = \left\lceil \frac{b}{a} \right\rceil$$En soustrayant \(\frac{1}{d}\), on obtient une nouvelle fraction
$$\frac{a \cdot d - b}{b \cdot d}$$que l'on réduit avant de la traiter à nouveau. Comme le numérateur diminue strictement à chaque étape, le procédé se termine toujours.
Exemple détaillé
Prenons \(\frac{5}{6}\). Ici, \(d = \left\lceil \frac{6}{5} \right\rceil = 2\), on retient donc \(\frac{1}{2}\). Le reste vaut
$$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$Il s'agit déjà d'une fraction unitaire : la décomposition est donc \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\), soit 2 fractions unitaires. Vous pouvez le vérifier :
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \quad \checkmark$$FAQ
La décomposition en fractions égyptiennes est-elle unique ? Non. Une fraction peut s'écrire de bien des manières comme somme de fractions unitaires ; l'algorithme glouton n'en fournit qu'une seule représentation valable.
Pourquoi les fractions doivent-elles être distinctes ? Par définition, les fractions égyptiennes utilisent des dénominateurs différents. C'est précisément ce qui rend l'approche gloutonne intéressante, plutôt que d'écrire simplement \(\frac{1}{b}\) plusieurs fois.
Les dénominateurs peuvent-ils devenir très grands ? Oui. La méthode gloutonne peut générer des dénominateurs étonnamment grands, même pour des fractions simples : c'est l'un de ses inconvénients bien connus.
