Qu'est-ce que la loi uniforme continue ?
La loi uniforme continue U(a, b) décrit une variable aléatoire qui a la même chance de prendre n'importe quelle valeur sur l'intervalle allant de a à b. Comme la probabilité se répartit de façon parfaitement égale, sa densité de probabilité est une constante plate sur tout le support et vaut zéro partout ailleurs. Cette calculatrice relève des mathématiques pures et s'applique de manière identique partout dans le monde — elle ne dépend d'aucune règle régionale ni juridique.
Comment utiliser cette calculatrice
Saisissez le point d'évaluation x, la borne inférieure a et la borne supérieure b (avec a ≤ b). L'outil renvoie trois valeurs : la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(X \le x)\) et la probabilité cumulée supérieure (complémentaire) \(P(X > x) = Q\). La somme des deux probabilités cumulées vaut toujours 1.
La formule expliquée
Notons la largeur \(w = b - a\). À l'intérieur de l'intervalle, la densité est constante : $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{w} & a \le x \le b \\[0.6em] 0 & \text{en dehors} \end{cases}$$ La fonction de répartition croît de façon linéaire : $$F(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\[0.6em] \dfrac{x - a}{w} & a \le x \le b \\[0.6em] 1 & x > b \end{cases}$$ La queue supérieure s'écrit simplement \(Q(x) = 1 - F(x)\). La largeur doit être strictement positive (b > a) ; lorsque a = b, la densité n'est pas définie à cause d'une division par zéro, et la loi dégénère en un point unique.
Exemple détaillé
Prenons x = 2, a = 1, b = 4. La largeur vaut \(w = 4 - 1 = 3\). Comme \(1 \le 2 \le 4\), x est à l'intérieur du support. La densité vaut $$f(2) = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333$$ La probabilité cumulée inférieure est $$F(2) = \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333$$ et la supérieure $$Q(2) = \frac{4 - 2}{3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667$$ Vérification : \(F + Q = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\).
Foire aux questions
Que se passe-t-il lorsque x est en dehors de [a, b] ? La densité vaut exactement 0. Si \(x < a\), alors \(F(x) = 0\) et \(Q(x) = 1\) ; si \(x > b\), alors \(F(x) = 1\) et \(Q(x) = 0\).
Pourquoi b doit-il être supérieur à a ? La densité s'écrit \(\frac{1}{b - a}\). Si a = b, le dénominateur est nul : la densité continue n'est donc pas définie. Ce cas correspond à une masse ponctuelle dégénérée et non à une loi continue.
Le résultat est-il un pourcentage ? Non. Tous les résultats sont sans unité. Les probabilités cumulées sont comprises entre 0 et 1 ; multipliez par 100 pour obtenir un pourcentage.
