Phân phối đều liên tục là gì?
Phân phối đều liên tục U(a, b) mô tả một biến ngẫu nhiên có khả năng nhận mọi giá trị trong khoảng từ a đến b với xác suất như nhau. Vì xác suất được trải đều, nên mật độ xác suất là một hằng số không đổi (đường thẳng nằm ngang) trên miền giá trị và bằng 0 ở mọi nơi khác. Đây là một công cụ thuần toán học, cho kết quả giống nhau ở mọi quốc gia — không phụ thuộc vào vùng miền hay quy định pháp lý nào.
Cách sử dụng máy tính
Nhập điểm cần tính x, cận dưới a và cận trên b (với a ≤ b). Công cụ sẽ trả về ba giá trị: mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P(X \le x)\), và xác suất tích lũy trên (phần bù) \(P(X > x) = Q\). Tổng của hai xác suất tích lũy này luôn bằng 1.
Giải thích công thức
Gọi độ rộng của khoảng là \(w = b - a\). Bên trong khoảng, mật độ là hằng số:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}} & \text{a} \le \text{x} \le \text{b} \\[0.6em] 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$khi \(a \le x \le b\), và \(f(x) = 0\) ở bên ngoài. Hàm phân phối tích lũy tăng tuyến tính:
$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{x} < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{x} - \text{a}}{\text{b} - \text{a}} & \text{a} \le \text{x} \le \text{b} \\[0.6em] 1 & \text{x} > \text{b} \end{cases}$$bằng \((x - a)/w\) khi \(a \le x \le b\), bằng 0 khi x nhỏ hơn a, và bằng 1 khi x lớn hơn b. Phần đuôi trên đơn giản là
$$P(X > x) = 1 - \dfrac{\text{x} - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}$$Độ rộng phải dương (\(b > a\)); khi \(a = b\) thì mật độ không xác định vì chia cho 0, và phân phối suy biến thành một điểm duy nhất.
Ví dụ minh họa
Lấy \(x = 2\), \(a = 1\), \(b = 4\). Độ rộng là \(w = 4 - 1 = 3\). Vì \(1 \le 2 \le 4\) nên x nằm trong miền giá trị. Mật độ là \(f(2) = 1/3 \approx 0{,}3333\). Xác suất tích lũy dưới là \(F(2) = (2 - 1)/3 = 1/3 \approx 0{,}3333\), và xác suất tích lũy trên là \(Q(2) = (4 - 2)/3 = 2/3 \approx 0{,}6667\). Kiểm tra lại: \(F + Q = 1/3 + 2/3 = 1\).
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi x nằm ngoài đoạn [a, b]? Mật độ bằng đúng 0. Nếu \(x < a\) thì \(F(x) = 0\) và \(Q(x) = 1\); nếu \(x > b\) thì \(F(x) = 1\) và \(Q(x) = 0\).
Tại sao b phải lớn hơn a? Mật độ bằng \(1/(b - a)\). Nếu \(a = b\) thì mẫu số bằng 0, nên mật độ liên tục không xác định; trường hợp đó là một khối điểm suy biến chứ không phải phân phối liên tục.
Kết quả có phải là phần trăm không? Không. Tất cả các giá trị đầu ra đều không có đơn vị. Các xác suất tích lũy nằm trong khoảng từ 0 đến 1; hãy nhân với 100 nếu bạn muốn đổi sang phần trăm.
