연속균등분포란?
연속균등분포 U(a, b)는 구간 a부터 b까지의 어떤 값이든 똑같은 가능성으로 나타나는 확률변수를 나타냅니다. 확률이 구간 전체에 고르게 퍼져 있기 때문에, 확률밀도는 정의역 안에서 일정한 상수값을 가지며 그 바깥에서는 0이 됩니다. 이 계산기는 순수한 수학 계산이므로 어느 나라에서나 동일하게 적용되며, 특정 지역이나 국가의 규정과는 무관합니다.
계산기 사용법
평가 지점 x, 하한 a, 상한 b를 입력하세요(단, a ≤ b여야 합니다). 그러면 확률밀도 \(f(x)\), 하측 누적확률 \(P(X \le x)\), 그리고 상측(여집합) 누적확률 \(P(X > x) = Q\), 이렇게 세 가지 값이 출력됩니다. 두 누적확률을 더하면 언제나 1이 됩니다.
공식 풀이
구간의 폭을 \(w = b - a\)라고 합시다. 구간 안에서 밀도는 일정합니다. 즉, \(a \le x \le b\)일 때 \(f(x) = 1/w\)이고, 구간 밖에서는 \(f(x) = 0\)입니다.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}} & \text{a} \le \text{x} \le \text{b} \\[0.6em] 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$누적분포함수는 선형으로 증가합니다. \(a \le x \le b\)일 때 \(F(x) = (x - a)/w\)이며, a보다 작으면 0, b보다 크면 1이 됩니다.
$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{x} < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{x} - \text{a}}{\text{b} - \text{a}} & \text{a} \le \text{x} \le \text{b} \\[0.6em] 1 & \text{x} > \text{b} \end{cases}$$상측 꼬리는 단순히 \(Q(x) = 1 - F(x)\)입니다.
$$P(X > x) = 1 - \dfrac{\text{x} - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}$$폭은 반드시 양수여야 합니다(\(b > a\)). \(a = b\)인 경우에는 0으로 나누게 되어 밀도가 정의되지 않으며, 분포는 하나의 점으로 퇴화합니다.
계산 예시
\(x = 2\), \(a = 1\), \(b = 4\)라고 해봅시다. 폭은 \(w = 4 - 1 = 3\)입니다. \(1 \le 2 \le 4\)이므로 x는 정의역 안에 있습니다. 밀도는 \(f(2) = 1/3 \approx 0.3333\)입니다. 하측 누적확률은 \(F(2) = (2 - 1)/3 = 1/3 \approx 0.3333\)이고, 상측은 \(Q(2) = (4 - 2)/3 = 2/3 \approx 0.6667\)입니다. 검산해 보면 \(F + Q = 1/3 + 2/3 = 1\)이 되어 맞아떨어집니다.
자주 묻는 질문
x가 [a, b] 구간 밖에 있으면 어떻게 되나요? 밀도는 정확히 0입니다. \(x < a\)이면 \(F(x) = 0\), \(Q(x) = 1\)이고, \(x > b\)이면 \(F(x) = 1\), \(Q(x) = 0\)입니다.
왜 b가 a보다 커야 하나요? 밀도가 \(1/(b - a)\)이기 때문입니다. \(a = b\)이면 분모가 0이 되어 연속 밀도를 정의할 수 없습니다. 이 경우는 연속분포가 아니라 한 점에 질량이 몰린 퇴화 분포가 됩니다.
결과가 백분율인가요? 아닙니다. 모든 출력값은 단위가 없는 무차원 수입니다. 누적확률은 0과 1 사이의 값을 가지며, 백분율로 보고 싶다면 100을 곱하세요.
