सतत समान वितरण कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

प्रतिशतक बिंदु x

निचली सीमा a

ऊपरी सीमा b

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (2)

1. Lower Cumulative Probability P(X < x)

   

   Lower CDF: 0 below a, linear ramp on [a,b], 1 above b.

2. Upper Cumulative Probability P(X > x)

   

   Upper CDF is the complement of the lower CDF.

परिणाम

A

प्रायिकता घनत्व f(x)

0.3333333333

सतत समान वितरण U(a, b)

Lower cumulative probability P(X ≤ x)	0.3333333333
Upper cumulative probability P(X > x) = Q	0.6666666667

सतत समान वितरण क्या है?

सतत समान वितरण U(a, b) ऐसे यादृच्छिक चर (random variable) को दर्शाता है जिसके a से b तक के अंतराल में किसी भी मान को ग्रहण करने की संभावना बराबर होती है। चूँकि प्रायिकता पूरे अंतराल में एक समान फैली होती है, इसका प्रायिकता घनत्व (probability density) समर्थन क्षेत्र में एक स्थिर (सपाट) मान रहता है और बाकी हर जगह शून्य होता है। यह कैलकुलेटर पूरी तरह गणित पर आधारित है और हर जगह एक समान रूप से लागू होता है — इसमें किसी देश या क्षेत्र विशेष से जुड़ी कोई सामग्री नहीं है।

U(a,b) का PDF a और b के बीच \(1/(b-a)\) ऊँचाई की एक सपाट क्षैतिज रेखा है, और बाकी जगह शून्य है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

मूल्यांकन बिंदु x, निचली सीमा a और ऊपरी सीमा b दर्ज करें (जहाँ a ≤ b)। यह टूल तीन मान देता है: प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निचली संचयी प्रायिकता \(P(X \le x)\), और ऊपरी (पूरक) संचयी प्रायिकता \(P(X > x) = Q\)। दोनों संचयी प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 होता है।

सूत्र की व्याख्या

मान लीजिए चौड़ाई \(w = b - a\) है। अंतराल के भीतर घनत्व स्थिर रहता है:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}} & \text{a} \le \text{x} \le \text{b} \\[0.6em] 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

संचयी वितरण रैखिक रूप से बढ़ता है:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{x} < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{x} - \text{a}}{\text{b} - \text{a}} & \text{a} \le \text{x} \le \text{b} \\[0.6em] 1 & \text{x} > \text{b} \end{cases}$$

ऊपरी पुच्छ (upper tail) बस

$$P(X > x) = 1 - \dfrac{\text{x} - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}$$

है। चौड़ाई धनात्मक होनी चाहिए (\(b > a\)); जब \(a = b\) हो तो शून्य से भाग होने के कारण घनत्व अपरिभाषित हो जाता है और वितरण एक ही बिंदु तक सिमट (degenerate) जाता है।

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CDF का मान \(F(x)\), a से x तक छायांकित आयताकार क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो \((x-a)/(b-a)\) के बराबर है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(x = 2\), \(a = 1\), \(b = 4\)। चौड़ाई \(w = 4 - 1 = 3\) है। चूँकि \(1 \le 2 \le 4\), इसलिए x समर्थन क्षेत्र के भीतर है। घनत्व \(f(2) = 1/3 \approx 0.3333\) है। निचली संचयी प्रायिकता \(F(2) = (2 - 1)/3 = 1/3 \approx 0.3333\) है, और ऊपरी \(Q(2) = (4 - 2)/3 = 2/3 \approx 0.6667\) है। जाँच के तौर पर, \(F + Q = 1/3 + 2/3 = 1\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

जब x, [a, b] के बाहर हो तो क्या होता है? घनत्व ठीक 0 हो जाता है। यदि \(x < a\) हो तो \(F(x) = 0\) और \(Q(x) = 1\); यदि \(x > b\) हो तो \(F(x) = 1\) और \(Q(x) = 0\)।

b का a से बड़ा होना ज़रूरी क्यों है? घनत्व \(1/(b - a)\) होता है। यदि \(a = b\) हो तो हर शून्य हो जाता है, इसलिए सतत घनत्व अपरिभाषित रहता है; ऐसी स्थिति एक सतत वितरण न होकर एक अपभ्रष्ट (degenerate) बिंदु द्रव्यमान होती है।

क्या परिणाम प्रतिशत में होता है? नहीं। सभी परिणाम विमारहित (dimensionless) हैं। संचयी प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच रहती हैं; प्रतिशत चाहिए तो इन्हें 100 से गुणा कर लें।