लॉग-नॉर्मल वितरण क्या है?
कोई धनात्मक यादृच्छिक चर X तब लॉग-नॉर्मल वितरण का पालन करता है जब उसका प्राकृतिक लघुगणक \(\ln(X)\) एक सामान्य (नॉर्मल) वितरण के अनुसार हो। दूसरे शब्दों में, \(X = e^Y\), जहाँ Y का वितरण नॉर्मल है, माध्य \(\mu\) और मानक विचलन \(\sigma\) के साथ। चूँकि लघुगणक केवल धनात्मक मानों के लिए परिभाषित होता है, इसलिए लॉग-नॉर्मल वितरण पूरी तरह धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर ही रहता है। यही वजह है कि यह उन राशियों के लिए एक स्वाभाविक मॉडल बन जाता है जो कभी ऋणात्मक नहीं हो सकतीं — जैसे शेयर की कीमतें, आय, कणों के आकार, जैविक मापन और किसी उपकरण के खराब होने तक का समय।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले वह मान x दर्ज करें जिस पर आप वितरण का आकलन करना चाहते हैं (यह 0 से बड़ा होना चाहिए), फिर \(\mu\) और \(\sigma\) भरें। शुरुआती लोग अक्सर यहीं पर भ्रमित होते हैं, इसलिए एक बात ध्यान रखें: यहाँ \(\mu\) और \(\sigma\) स्वयं X का नहीं, बल्कि \(\ln(X)\) का माध्य और मानक विचलन हैं। कैलकुलेटर तीन मान देता है — प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निम्न संचयी प्रायिकता \(P(x) = P(X \le x)\), और उच्च संचयी प्रायिकता \(Q(x) = P(X > x) = 1 - P(x)\)।
सूत्र की व्याख्या
मानकीकृत स्कोर को इस तरह परिभाषित करें: \(z = (\ln x - \mu) / \sigma\)। घनत्व निकलता है
$$f(x) = \frac{1}{\text{x}\;\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{\left(\ln \text{x} - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}\right)$$निम्न संचयी प्रायिकता होती है \(P(x) = \Phi(z)\), जहाँ \(\Phi\) मानक नॉर्मल संचयी वितरण फलन है, यानी
$$\begin{gathered} P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{\ln \text{x} - \mu}{\sigma}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \Phi(z) &= \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right) \\ P(X > x) &= 1 - P(X \le x) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$चूँकि सामान्य गणित लाइब्रेरियों में erf पहले से मौजूद नहीं होता, यह टूल Abramowitz & Stegun 7.1.26 बहुपद सन्निकटन का उपयोग करता है, जो लगभग \(1.5 \times 10^{-7}\) तक सटीक है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(x = 2\), \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\)। तब \(\ln(2) = 0.693147\) और \(z = 0.693147\)। घनत्व निकलता है \(f(2)\) = exp पद \(0.786429\) को \(5.013256\) से भाग देने पर, यानी लगभग \(0.156874\)। निम्न संचयी प्रायिकता \(\Phi(0.693147) \approx 0.755891\) है, इसलिए उच्च संचयी प्रायिकता \(Q(2) = 1 - 0.755891 \approx 0.244109\) आती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
x का धनात्मक होना क्यों ज़रूरी है? लॉग-नॉर्मल वितरण केवल \(x > 0\) के लिए परिभाषित है, क्योंकि अन्यथा \(\ln(x)\) अपरिभाषित रहता है। \(x \le 0\) के लिए घनत्व 0, \(P(x) = 0\) और \(Q(x) = 1\) होता है।
स्वयं X का माध्य कैसे निकालें? X का माध्य \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\) के बराबर होता है, माध्यिका \(\exp(\mu)\) के बराबर, और बहुलक \(\exp(\mu - \sigma^2)\) के बराबर। ध्यान दें कि ये मान \(\mu\) और \(\sigma\) से अलग हैं, जो दरअसल \(\ln(X)\) का वर्णन करते हैं।
अगर sigma शून्य हो तो? शून्य मानक विचलन से वितरण एक बिंदु पर सिमट जाता है और सूत्र में शून्य से भाग आ जाता है, इसलिए इसे स्वीकार नहीं किया जाता; इसके बजाय कोई छोटा धनात्मक \(\sigma\) उपयोग करें।
