यह कैलकुलेटर क्या करता है
लॉगनॉर्मल वितरण किसी ऐसे धनात्मक यादृच्छिक चर (random variable) को दर्शाता है जिसका प्राकृतिक लघुगणक (natural log) सामान्य वितरण (normal distribution) के अनुसार बँटा होता है। यानी अगर ln(x) का वितरण माध्य μ और मानक विचलन σ के साथ सामान्य है, तो x लॉगनॉर्मल वितरित कहलाता है। यह कैलकुलेटर आपके चुने हुए x मानों की रेंज पर तीन में से किसी एक फलन का मान निकालकर एक ऐसी सारणी देता है जिसे आप पढ़ भी सकते हैं और ग्राफ़ भी बना सकते हैं: प्रायिकता घनत्व f(x), निम्न संचयी प्रायिकता P(x) (संचयी वितरण फलन, CDF), या उच्च संचयी प्रायिकता Q(x) = 1 − P(x)।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले वह फलन चुनें जिसका ग्राफ़ बनाना है, फिर ln(x) का माध्य μ और मानक विचलन σ दर्ज करें। इसके बाद शुरुआती x (x का प्रारंभिक मान), लगातार x मानों के बीच का अंतराल (Step) और बिंदुओं की संख्या भरें। कैलकुलेटर हर बिंदु पर \(x_i = \text{initialX} + i \times \text{step}\) (जहाँ i = 0, 1, …, count−1) के लिए फलन का मान निकालता है और प्रत्येक (x, मान) जोड़ी को सारणी में दिखाता है। ध्यान रहे, σ धनात्मक होना चाहिए और x ऋणात्मक नहीं हो सकता; x = 0 पर घनत्व और निम्न संचयी 0 होते हैं जबकि उच्च संचयी 1 होता है।
सूत्र को समझें
घनत्व का सूत्र है $$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{\left(\ln x - \mu\right)^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right),\quad x>0$$ संचयी प्रायिकता है $$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ जहाँ \(\Phi\) मानक सामान्य CDF है, यानी \(\Phi(z) = \tfrac{1}{2}(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2}))\)। उच्च संचयी (सर्वाइवल फलन) $$Q(x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ होता है। erf की गणना के लिए हम एक उच्च-परिशुद्धता वाला परिमेय सन्निकटन (rational approximation) उपयोग करते हैं, जिसमें अधिकतम त्रुटि लगभग \(1.5\times10^{-7}\) रहती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\) और \(x = 1\): तब \(z = (\ln 1 - 0)/1 = 0\)। घनत्व \(= 1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894228\)। निम्न संचयी \(P = \Phi(0) = 0.5\)। उच्च संचयी \(Q = 1 - 0.5 = 0.5\)। अब \(x = 2\) पर: \(z = \ln 2 \approx 0.6931\), जिससे \(f \approx 0.156874\), \(P \approx 0.75568\) और \(Q \approx 0.24432\) मिलते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या μ और σ ही x के माध्य और मानक विचलन हैं? नहीं — ये ln(x) यानी अंतर्निहित सामान्य चर के माध्य और मानक विचलन हैं, स्वयं x के नहीं।
x = 0 पर क्या होता है? लॉगनॉर्मल वितरण केवल x > 0 के लिए परिभाषित है, इसलिए ln(0) से बचने के लिए हम f(0) = 0, P(0) = 0 और Q(0) = 1 मान लेते हैं।
σ का धनात्मक होना क्यों ज़रूरी है? शून्य या उससे कम मानक विचलन का कोई सार्थक वितरण नहीं बनता और इससे शून्य से भाग की स्थिति आ जाती है, इसलिए कैलकुलेटर σ ≤ 0 को स्वीकार नहीं करता।
