Công cụ này làm gì
Phân phối loga chuẩn (lognormal) mô tả một biến ngẫu nhiên dương mà lôgarit tự nhiên của nó tuân theo phân phối chuẩn. Nếu ln(x) tuân theo phân phối chuẩn với trung bình \(\mu\) và độ lệch chuẩn \(\sigma\), thì x có phân phối loga chuẩn. Máy tính này tính một trong ba hàm trên một dải giá trị x bạn chọn và trả về bảng kết quả để bạn đọc hoặc vẽ đồ thị: hàm mật độ xác suất f(x), xác suất tích lũy dưới P(x) (chính là hàm phân phối tích lũy CDF), hoặc xác suất tích lũy trên \(Q(x) = 1 - P(x)\).
Cách sử dụng
Trước tiên hãy chọn hàm cần vẽ, sau đó nhập trung bình \(\mu\) và độ lệch chuẩn \(\sigma\) của ln(x). Tiếp theo, đặt giá trị x ban đầu (Initial value of x), bước nhảy giữa các giá trị x liên tiếp (Step) và số điểm cần tính (Number of points). Máy tính sẽ tính hàm tại \(x_i = \text{giá trị x ban đầu} + i \times \text{bước nhảy}\) với \(i = 0, 1, \ldots, \text{số điểm}-1\) và lập bảng từng cặp (x, giá trị). Lưu ý: \(\sigma\) phải dương và x phải không âm; tại x = 0 thì mật độ và tích lũy dưới đều bằng 0, còn tích lũy trên bằng 1.
Giải thích công thức
Hàm mật độ là $$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{\left(\ln x - \mu\right)^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right),\quad x>0$$ Xác suất tích lũy là $$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ trong đó \(\Phi\) là hàm CDF của phân phối chuẩn tắc, với \(\Phi(z) = \frac{1}{2}(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2}))\). Xác suất tích lũy trên (hàm sống sót) là $$Q(x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ Chúng tôi dùng một xấp xỉ hữu tỉ độ chính xác cao cho hàm erf (sai số tối đa khoảng \(1{,}5\times10^{-7}\)).
Ví dụ minh họa
Với \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\) tại x = 1: \(z = (\ln 1 - 0)/1 = 0\). Mật độ \(= 1/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}39894228\). Tích lũy dưới \(P = \Phi(0) = 0{,}5\). Tích lũy trên \(Q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). Tại x = 2: \(z = \ln 2 \approx 0{,}6931\), ta có \(f \approx 0{,}156874\), \(P \approx 0{,}75568\) và \(Q \approx 0{,}24432\).
Câu hỏi thường gặp
\(\mu\) và \(\sigma\) có phải là trung bình và độ lệch chuẩn của x không? Không — đây là trung bình và độ lệch chuẩn của ln(x), tức là biến chuẩn nền tảng, chứ không phải của chính x.
Tại x = 0 thì sao? Phân phối loga chuẩn chỉ xác định khi x > 0, nên chúng tôi đặt \(f(0) = 0\), \(P(0) = 0\) và \(Q(0) = 1\) để tránh tính ln(0).
Vì sao \(\sigma\) phải dương? Độ lệch chuẩn bằng 0 hoặc nhỏ hơn không tạo nên một phân phối có ý nghĩa và sẽ dẫn đến phép chia cho 0, nên máy tính sẽ từ chối các giá trị \(\sigma \le 0\).
