Phân phối log chuẩn lai là gì?
Phân phối log chuẩn lai, ký hiệu HybLogN(\(\rho x, \mu, \sigma\)), là một phân phối xác suất trong đó biến đã biến đổi \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) tuân theo phân phối chuẩn với kỳ vọng \(\mu\) và độ lệch chuẩn \(\sigma\). Nó kết hợp một thành phần phân phối chuẩn (\(\rho x\)) với một thành phần phân phối log chuẩn (\(\ln(\rho x)\)). Tham số cường độ \(\rho > 0\) dùng để co giãn biến cơ sở. Do có logarit nên phân phối chỉ xác định khi \(x > 0\). Đây là một công cụ toán học thuần túy mang tính phổ quát và áp dụng giống hệt nhau ở mọi nơi.
Cách dùng máy tính này
Trước tiên hãy chọn hàm cần lập bảng — hàm mật độ xác suất \(f\), xác suất tích lũy dưới \(P\), hay xác suất tích lũy trên \(Q\). Sau đó nhập tham số cường độ \(\rho\), kỳ vọng \(\mu\) và độ lệch chuẩn \(\sigma\). Tiếp theo, đặt giá trị x ban đầu, bước nhảy và số dòng. Công cụ sẽ tính giá trị của hàm đã chọn tại \(x = x_0\), \(x_0+\text{bước}\), \(x_0+2\cdot\text{bước}\), … và liệt kê toàn bộ các cặp (x, giá trị), kèm theo trung vị \(x_c\).
Giải thích công thức
Đặt \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) và \(z = (y(x) - \mu) / \sigma\). Hàm mật độ là
$$f(x) = \frac{\rho}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right) e^{-\frac{1}{2} z^{2}}$$Thừa số \(\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right)\) chính là Jacobian \(dy/dx\) chia cho \(\rho\). Vì \(y\) tăng nghiêm ngặt theo \(x\) và chạy từ \(-\infty\) đến \(+\infty\), nên xác suất tích lũy dưới đơn giản là \(P(x) = \Phi(z)\), trong đó \(\Phi\) là hàm phân phối tích lũy chuẩn tắc,
$$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$Xác suất tích lũy trên là \(Q(x) = 1 - P(x) = \Phi(-z)\).
Ví dụ minh họa
Với \(\rho=1\), \(\mu=0\), \(\sigma=1\) tại \(x=1\): \(y = 1 + \ln(1) = 1\), do đó \(z = 1\). Mật độ
$$f = 0{,}3989423 \cdot (1+1) \cdot e^{-0{,}5} = 0{,}3989423 \cdot 2 \cdot 0{,}6065307 \approx 0{,}4839$$Xác suất tích lũy dưới \(P = \Phi(1) \approx 0{,}8413\), và xác suất tích lũy trên \(Q \approx 0{,}1587\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao x phải dương? Số hạng \(\ln(\rho x)\) không xác định khi \(\rho x \le 0\). Tại \(x = 0\), mật độ được quy ước bằng 0, với \(P = 0\) và \(Q = 1\) là các giá trị giới hạn.
Trung vị là gì? Trung vị \(x_c\) là nghiệm của phương trình \(\rho x_c + \ln(\rho x_c) = \mu\). Ta giải số để tìm \(\rho x_c\) rồi chia cho \(\rho\).
Xác suất tích lũy chính xác đến đâu? \(\Phi\) sử dụng xấp xỉ erf theo công thức Abramowitz-Stegun 7.1.26, đạt độ chính xác khoảng \(1{,}5\times10^{-7}\).
