ما هو التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي الهجين؟
التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي الهجين، ويُرمز إليه بـ \(\text{HybLogN}(\rho x, \mu, \sigma)\)، هو توزيع احتمالي يكون فيه المتغير المُحوَّل \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) موزَّعًا توزيعًا طبيعيًا بمتوسط \(\mu\) وانحراف معياري \(\sigma\). وهو يمزج بين حدٍّ من التوزيع الطبيعي (\(\rho x\)) وحدٍّ من التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي (\(\ln(\rho x)\)). أما معامل القوة \(\rho > 0\) فيقوم بتحجيم المتغير الأساسي. وبسبب وجود اللوغاريتم، فإن التوزيع معرَّف فقط عند \(x > 0\). وهذه قاعدة رياضية بحتة وعالمية تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
اختر الدالة التي تريد جدولتها — دالة الكثافة الاحتمالية f، أو الاحتمال التراكمي السفلي P، أو الاحتمال التراكمي العلوي Q. ثم أدخل معامل القوة \(\rho\)، والمتوسط \(\mu\)، والانحراف المعياري \(\sigma\). بعد ذلك حدِّد قيمة x الابتدائية، ومقدار الخطوة، وعدد الصفوف. تقوم الأداة بحساب الدالة المختارة عند \(x = x_0\)، و \(x_0 + \text{الخطوة}\)، و \(x_0 + 2\cdot\text{الخطوة}\)، … وتعرض كل زوج (x، القيمة)، إضافةً إلى الوسيط \(x_c\).
شرح المعادلة
لتكن \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) و \(z = (y(x) - \mu) / \sigma\). عندئذٍ تكون الكثافة $$f(x) = \frac{\rho}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right) e^{-\frac{1}{2} z^{2}}.$$ والعامل \(\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right)\) هو مقدار اليعقوبي \(dy/dx\) مقسومًا على \(\rho\). وبما أن \(y\) تتزايد تزايدًا تامًا مع \(x\) وتمتد من \(-\infty\) إلى \(+\infty\)، فإن الاحتمال التراكمي السفلي يكون ببساطة \(P(x) = \Phi(z)\)، حيث \(\Phi\) هي دالة التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي، $$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right].$$ أما الاحتمال التراكمي العلوي فهو \(Q(x) = 1 - P(x) = \Phi(-z)\).
مثال محلول
عند \(\rho=1\)، \(\mu=0\)، \(\sigma=1\) وعند \(x=1\): يكون \(y = 1 + \ln(1) = 1\)، ومن ثَمَّ \(z = 1\). الكثافة $$f = 0.3989423 \cdot (1+1) \cdot e^{-0.5} = 0.3989423 \cdot 2 \cdot 0.6065307 \approx 0.4839.$$ والاحتمال التراكمي السفلي \(P = \Phi(1) \approx 0.8413\)، والاحتمال التراكمي العلوي \(Q \approx 0.1587\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون x موجبة؟ الحد \(\ln(\rho x)\) غير معرَّف عندما يكون \(\rho x \le 0\). وعند \(x = 0\) تُؤخذ الكثافة مساوية للصفر، مع \(P = 0\) و \(Q = 1\) كقيمتين حديتين.
ما هو الوسيط؟ الوسيط \(x_c\) هو الحل لمعادلة \(\rho x_c + \ln(\rho x_c) = \mu\). نحلّ عدديًا لإيجاد \(\rho x_c\) ثم نقسم على \(\rho\).
ما مدى دقة الاحتمال التراكمي؟ تستخدم \(\Phi\) تقريب دالة الخطأ \(\operatorname{erf}\) الوارد في Abramowitz-Stegun رقم 7.1.26، وهو دقيق حتى نحو \(1.5\times10^{-7}\).
