하이브리드 로그정규분포란?
하이브리드 로그정규분포는 HybLogN(\(\rho x, \mu, \sigma\))로 표기하며, 변환된 변수 \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\)가 평균 \(\mu\), 표준편차 \(\sigma\)인 정규분포를 따르는 확률분포입니다. 정규분포 항(\(\rho x\))과 로그정규분포 항(\(\ln(\rho x)\))을 결합한 형태라는 점이 특징입니다. 강도 매개변수 \(\rho\)(\(\rho > 0\))는 기저 변수를 배율 조정하는 역할을 합니다. 로그가 포함되어 있기 때문에 이 분포는 \(x > 0\)인 경우에만 정의됩니다. 이는 특정 국가나 제도에 종속되지 않은 순수 수학 개념으로, 어디에서나 동일하게 적용됩니다.
계산기 사용법
먼저 표로 나타낼 함수를 선택하세요 — 확률밀도 f, 하측 누적확률 P, 또는 상측 누적확률 Q 중에서 고르면 됩니다. 그다음 강도 매개변수 \(\rho\), 평균 \(\mu\), 표준편차 \(\sigma\)를 입력합니다. 이어서 시작값 x, 증분(스텝 크기), 행 개수를 지정하세요. 계산기는 선택한 함수를 \(x = x_0,\ x_0+\text{step},\ x_0+2\cdot\text{step},\ \ldots\) 지점에서 차례로 평가하여 (x, 값) 쌍을 모두 표로 보여 주며, 중앙값 \(x_c\)도 함께 제시합니다.
공식 풀이
\(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\), \(z = (y(x) - \mu) / \sigma\)로 둡니다. 밀도는 다음과 같습니다.
$$f(x) = \frac{\rho}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right) e^{-\frac{1}{2} z^{2}}$$여기서 \(\left(1 + \dfrac{1}{\rho x}\right)\) 인자는 야코비안 \(dy/dx\)를 \(\rho\)로 나눈 값입니다. y는 x에 대해 단조 증가하며 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)까지 변하므로, 하측 누적확률은 단순히 \(P(x) = \Phi(z)\)로 주어집니다. 여기서 \(\Phi\)는 표준정규분포의 누적분포함수(CDF)로 다음과 같습니다.
$$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)$$상측 누적확률은 \(Q(x) = 1 - P(x) = \Phi(-z)\)입니다.
계산 예시
\(\rho=1\), \(\mu=0\), \(\sigma=1\)이고 \(x=1\)일 때: \(y = 1 + \ln(1) = 1\)이므로 \(z = 1\)입니다. 밀도는 다음과 같습니다.
$$f = 0.3989423 \cdot (1+1) \cdot \exp(-0.5) = 0.3989423 \cdot 2 \cdot 0.6065307 \approx 0.4839$$하측 누적확률은 \(P = \Phi(1) \approx 0.8413\)이고, 상측 누적확률은 \(Q \approx 0.1587\)입니다.
자주 묻는 질문
왜 x는 양수여야 하나요? \(\ln(\rho x)\) 항은 \(\rho x \le 0\)에서 정의되지 않기 때문입니다. \(x = 0\)에서는 밀도를 0으로 두며, 극한값으로 \(P = 0\), \(Q = 1\)을 취합니다.
중앙값은 무엇인가요? 중앙값 \(x_c\)는 \(\rho x_c + \ln(\rho x_c) = \mu\)를 만족하는 값입니다. 먼저 \(\rho x_c\)를 수치적으로 구한 뒤 \(\rho\)로 나눠 계산합니다.
누적확률은 얼마나 정확한가요? \(\Phi\)는 Abramowitz-Stegun 7.1.26 erf 근사식을 사용하며, 오차는 약 \(1.5\times10^{-7}\) 수준으로 정확합니다.
