Hibrit log-normal dağılım nedir?
HybLogN(\(\rho x, \mu, \sigma\)) şeklinde gösterilen hibrit log-normal dağılım, dönüştürülmüş değişken \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\)'in ortalaması \(\mu\) ve standart sapması \(\sigma\) olan normal dağılıma sahip olduğu bir olasılık dağılımıdır. Bu dağılım, bir normal dağılım terimini (\(\rho x\)) bir log-normal dağılım terimiyle (\(\ln(\rho x)\)) birleştirir. \(\rho > 0\) kuvvet parametresi, temel değişkeni ölçeklendirir. Logaritma içerdiği için dağılım yalnızca \(x > 0\) değerleri için tanımlıdır. Bu, evrensel bir saf matematik kavramıdır ve dünyanın her yerinde aynı şekilde geçerlidir.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Önce hangi fonksiyonu tablolaştırmak istediğinizi seçin: olasılık yoğunluğu f, alt kümülatif olasılık P veya üst kümülatif olasılık Q. Ardından \(\rho\) kuvvet parametresini, \(\mu\) ortalamasını ve \(\sigma\) standart sapmasını girin. Son olarak başlangıç x değerini, adım büyüklüğünü ve satır sayısını belirleyin. Araç, seçtiğiniz fonksiyonu x = x0, x0+adım, x0+2·adım, … noktalarında hesaplar ve her (x, değer) çiftini, ayrıca xc medyanını listeler.
Formülün açıklaması
\(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) ve \(z = (y(x) - \mu) / \sigma\) olsun. Yoğunluk şu şekildedir: $$f(x) = \frac{\rho}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right) e^{-\frac{1}{2} z^{2}}$$ Buradaki \(\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right)\) çarpanı, \(dy/dx\) Jacobian'ının \(\rho\)'ya bölünmüş halidir. y, x ile kesin olarak artıp \(-\infty\)'dan \(+\infty\)'a uzandığından, alt kümülatif olasılık basitçe \(P(x) = \Phi(z)\) olur; burada \(\Phi\) standart normal birikimli dağılım fonksiyonudur: $$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ Üst kümülatif ise \(Q(x) = 1 - P(x) = \Phi(-z)\) şeklindedir.
Çözümlü örnek
\(\rho=1\), \(\mu=0\), \(\sigma=1\) ve \(x=1\) için: \(y = 1 + \ln(1) = 1\), dolayısıyla \(z = 1\) olur. Yoğunluk $$f = 0.3989423 \cdot (1+1) \cdot e^{-0.5} = 0.3989423 \cdot 2 \cdot 0.6065307 \approx 0.4839$$ Alt kümülatif \(P = \Phi(1) \approx 0.8413\), üst kümülatif ise \(Q \approx 0.1587\) olur.
Sıkça sorulan sorular
x neden pozitif olmak zorundadır? \(\ln(\rho x)\) terimi, \(\rho x \le 0\) için tanımsızdır. \(x = 0\) noktasında yoğunluk 0 kabul edilir; limit değerleri olarak \(P = 0\) ve \(Q = 1\) alınır.
Medyan nedir? xc medyanı, \(\rho x_c + \ln(\rho x_c) = \mu\) denklemini sağlar. \(\rho x_c\) değerini sayısal olarak çözer ve \(\rho\)'ya böleriz.
Kümülatif olasılık ne kadar hassastır? \(\Phi\), Abramowitz-Stegun 7.1.26 erf yaklaşımını kullanır ve yaklaşık \(1.5\times10^{-7}\) doğruluğa sahiptir.
