什么是混合对数正态分布？
混合对数正态分布记作 HybLogN(ρx, μ, σ)，它是一种概率分布：经过变换后的变量 y(x) = ρx + ln(ρx) 服从均值为 μ、标准差为 σ 的正态分布。它把正态分布项（ρx）与对数正态分布项（ln(ρx)）融合在一起。强度参数 ρ > 0 用于对底层变量进行缩放。由于式中含有对数，该分布仅在 x > 0 时有定义。这是一条普适的纯数学结论，在任何场合都同样成立。
如何使用本计算器
先选择要列表的函数——概率密度 f、下侧累积概率 P，还是上侧累积概率 Q。然后输入强度参数 ρ、均值 μ 与标准差 σ。接着设定起始 x、步长以及行数。本工具会在 x = x0、x0+步长、x0+2·步长、… 处依次计算所选函数，列出每一组 (x, 函数值)，并给出中位数 xc。
公式解析
令 y(x) = ρx + ln(ρx)，z = (y(x) − μ) / σ。则概率密度为 f(x) = (ρ / (√(2π)·σ)) · (1 + 1/(ρx)) · exp(−½z²)。其中因子 (1 + 1/(ρx)) 就是雅可比量 dy/dx 除以 ρ。由于 y 随 x 严格递增，并从 −∞ 取到 +∞，因此下侧累积概率就是 P(x) = Φ(z)，这里 Φ 为标准正态分布的累积分布函数，Φ(z) = ½(1 + erf(z/√2))。上侧累积概率则为 Q(x) = 1 − P(x) = Φ(−z)。
计算示例
取 ρ=1、μ=0、σ=1，在 x=1 处：y = 1 + ln(1) = 1，于是 z = 1。密度 f = 0.3989423 · (1+1) · exp(−0.5) = 0.3989423 · 2 · 0.6065307 ≈ 0.4839。下侧累积概率 P = Φ(1) ≈ 0.8413，上侧累积概率 Q ≈ 0.1587。
常见问题
为什么 x 必须为正？ 当 ρx ≤ 0 时 ln(ρx) 没有定义。在 x = 0 处，密度取为 0，并以极限值约定 P = 0、Q = 1。
中位数是什么？ 中位数 xc 满足 ρxc + ln(ρxc) = μ。我们先数值求解 ρxc，再除以 ρ 得到结果。
累积概率的精度如何？ Φ 采用 Abramowitz-Stegun 7.1.26 的 erf 近似公式，精度约为 1.5×10−7。
