什么是列维分布？
列维分布（Lévy distribution）是一种连续的重尾概率分布，仅在大于位置参数 \(\text{mu}\) 的取值上有定义。它包含两个参数：位置参数 \(\text{mu}\)，用于决定分布支撑区间从何处开始；以及尺度参数 \(\text{c}\)（必须为正），用于拉伸分布的形状。列维分布属于稳定分布，常见于物理学（布朗运动的首次通过时间）、金融以及反常扩散的研究之中。值得注意的是，它的均值和方差都是无穷大，因此本工具只给出概率密度和累积概率，而不报告均值、方差等汇总统计量。
如何使用本计算器
首先选择要显示的曲线：概率密度函数 \(f\)、下侧累积概率 \(P\)，或上侧累积概率 \(Q\)。接着输入位置参数 \(\text{mu}\) 和一个为正的尺度参数 \(\text{c}\)。然后通过起始值、步长（增量）和点数来设定 \(\text{x}\) 的计算范围。计算器会在每个点上求值，输出第一个 \(\text{x}\) 处的 \(f\)、\(P\) 和 \(Q\)，并在整个范围内将所选函数绘制成曲线。
公式详解
设 \(s = \text{x} - \text{mu}\)。当 \(s > 0\) 时，概率密度为 $$f(\text{x}) = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}}}{\left(\text{x} - \text{mu}\right)^{3/2}}$$ 下侧累积分布为 $$\begin{gathered} P(\text{x}) = \operatorname{erfc}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$ 其中 \(\operatorname{erfc}\) 为互补误差函数；上侧分布（生存函数）为 $$\begin{gathered} Q(\text{x}) = \operatorname{erf}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$ 当 \(\text{x}\) 小于或等于 \(\text{mu}\) 时，该处没有概率质量，因此 \(f = 0\)、\(P = 0\)、\(Q = 1\)。误差函数采用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 有理近似公式进行计算。
实例演算
取 \(\text{mu} = 0\)、\(\text{c} = 1\)、\(\text{x} = 1\)：此时 \(s = 1\)，于是 $$f = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot e^{-0.5} = 0.398942 \cdot 0.606531 \approx 0.24197$$ 参数 \(z = \sqrt{1/2} = 0.70711\)，\(\operatorname{erf}(z) \approx 0.68269\)，因此 \(P = \operatorname{erfc}(z) \approx 0.31731\)，\(Q \approx 0.68269\) —— 这正是标准列维分布 \(\text{Lévy}(0,1)\) 的取值。
常见问题
为什么 \(\text{c}\) 必须大于 0？尺度参数决定了分布的展开程度；当 \(\text{c}\) 取非正值时密度无定义，因此本计算器要求 \(\text{c} > 0\)。
当 \(\text{x}\) 小于 \(\text{mu}\) 时会怎样？分布在该区域没有支撑，所以 \(f = 0\)，下侧累积概率 \(P = 0\)，上侧累积概率 \(Q = 1\)。
为什么没有均值和方差？列维分布的尾部极重，其均值和方差都发散到无穷大，因此无法给出有限的汇总统计量。
