Что такое распределение Леви?
Распределение Леви — это непрерывное распределение вероятностей с «тяжёлым хвостом», определённое для значений, превышающих параметр положения mu. У него два параметра: параметр положения mu, который задаёт, где начинается носитель распределения, и параметр масштаба c (всегда строго положительный), который «растягивает» распределение. Это устойчивое распределение, встречающееся в физике (времена первого достижения для броуновского движения), в финансах и при изучении аномальной диффузии. Важная особенность: и математическое ожидание, и дисперсия у него бесконечны — именно поэтому калькулятор выводит плотность и кумулятивные вероятности, а не сводные моменты.
Как пользоваться калькулятором
Выберите, какую кривую отобразить: функцию плотности вероятности f, нижнюю кумулятивную вероятность P или верхнюю кумулятивную вероятность Q. Введите параметр положения mu и положительный параметр масштаба c. Затем задайте диапазон x для расчёта: начальное значение, шаг (приращение) и количество точек. Калькулятор вычисляет x в каждой точке, выводит f, P и Q для первого значения x и строит выбранную функцию в виде кривой по всему диапазону.
Разбор формулы
Пусть \(s = \text{x} - \text{mu}\). При \(s > 0\) плотность равна $$f(\text{x}) = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}}}{\left(\text{x} - \text{mu}\right)^{3/2}}$$ Нижняя кумулятивная функция распределения — $$P(\text{x}) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\frac{\text{c}}{2s}}\right)$$ где \(\operatorname{erfc}\) — дополнительная функция ошибок, а верхняя функция (функция выживания) — $$Q(\text{x}) = 1 - P(\text{x}) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\frac{\text{c}}{2s}}\right)$$ При x, равном или меньшем mu, вероятностной массы нет, поэтому \(f = 0\), \(P = 0\) и \(Q = 1\). Функция ошибок вычисляется по рациональному приближению Абрамовица и Стиган 7.1.26.
Пример расчёта
При \(\text{mu} = 0\), \(\text{c} = 1\) и \(\text{x} = 1\): \(s = 1\), поэтому $$f = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot e^{-0.5} = 0.398942 \cdot 0.606531 \approx 0.24197$$ Аргумент \(z = \sqrt{1/2} = 0.70711\), \(\operatorname{erf}(z) \approx 0.68269\), отсюда \(P = \operatorname{erfc}(z) \approx 0.31731\) и \(Q \approx 0.68269\) — стандартные значения для Леви(0,1).
Частые вопросы
Почему c должно быть больше 0? Параметр масштаба задаёт разброс распределения; при неположительном c плотность не определена, поэтому калькулятор требует \(\text{c} > 0\).
Что происходит при x меньше mu? В этой области распределение не имеет носителя, поэтому \(f = 0\), нижняя кумулятивная вероятность \(P = 0\), а верхняя кумулятивная вероятность \(Q = 1\).
Почему нет среднего и дисперсии? Хвост распределения Леви настолько тяжёлый, что и среднее, и дисперсия расходятся к бесконечности, поэтому конечные сводные моменты не выводятся.
