Что такое калькулятор равномерного распределения?
Непрерывное равномерное распределение описывает случайную величину, которая с одинаковой вероятностью принимает любое значение внутри отрезка [a, b]. Этот калькулятор считает три связанные функции на этом отрезке: плотность вероятности \(f(x)\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P(x)\) (функцию распределения, CDF) и верхнюю кумулятивную вероятность \(Q(x)\) (функцию выживания). Кроме того, он формирует таблицу значений по заданному диапазону точек \(x\) — её удобно использовать для построения графика выбранной функции.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите, какую функцию вычислять (плотность \(f\), нижнюю кумулятивную \(P\) или верхнюю кумулятивную \(Q\)). Укажите границы отрезка \(a\) и \(b\) (при условии \(a < b\)). Затем задайте параметры перебора: начальное значение \(x\), шаг (приращение, прибавляемое на каждом шаге) и число повторений (сколько точек \(x\) нужно построить). В поле результата выводится значение функции в середине отрезка [a, b], а в таблице перечислены все пары (x, значение) по всему диапазону.
Разбор формулы
Обозначим ширину как \(w = b - a\). Внутри области определения плотность постоянна:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$равная \(1/w\) при \(a \le x \le b\) и равная 0 за её пределами. Нижняя кумулятивная вероятность накапливает площадь, начиная от \(a\):
$$P(x) = \begin{cases} 0, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{x - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 1, & x > \text{b} \end{cases}$$при этом она ограничивается значением 0 ниже \(a\) и 1 выше \(b\). Верхняя кумулятивная вероятность является дополнением:
$$Q(x) = \begin{cases} 1, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{b} - x}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & x > \text{b} \end{cases}$$с ограничением 1 ниже \(a\) и 0 выше \(b\). Поскольку вместе они охватывают всю плотность, всюду выполняется равенство \(P(x) + Q(x) = 1\). Калькулятор отдельно проверяет вырожденный случай \(a = b\) (нулевая ширина), при котором произошло бы деление на ноль.
Разбор примера
Пусть \(a = 2\) и \(b = 8\), тогда ширина равна \(w = 6\). В точке \(x = 5\) (середина отрезка): \(f(5) = 1/6 \approx 0{,}16667\), \(P(5) = (5 - 2)/6 = 0{,}5\) и \(Q(5) = (8 - 5)/6 = 0{,}5\), что подтверждает равенство \(P + Q = 1\). В точке \(x = 0\) (ниже \(a\)) плотность равна 0, \(P = 0\), а \(Q = 1\). На верхней границе \(x = 8\) получаем \(P = 1\) и \(Q = 0\).
Частые вопросы
Почему плотность больше 1? Плотность — это не вероятность, а вероятность на единицу длины. Для узкого отрезка значение \(1/(b - a)\) может превышать 1, но полная площадь под кривой всё равно равна 1.
Что будет, если a равно b? Ширина становится нулевой, поэтому плотность не определена (стремится к бесконечности), а кумулятивные функции превращаются в ступеньку. Калькулятор помечает такой ввод как некорректный.
Может ли шаг быть отрицательным? Да. Отрицательное приращение задаёт убывающий перебор; за пределами [a, b] формулы по-прежнему корректно ограничивают значения.
