¿Qué es la calculadora de distribución uniforme?
La distribución uniforme continua describe una variable aleatoria que tiene la misma probabilidad de tomar cualquier valor dentro de un intervalo \([a, b]\). Esta calculadora evalúa tres funciones relacionadas dentro de ese intervalo: la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(x)\) (la función de distribución o CDF) y la probabilidad acumulada superior \(Q(x)\) (la función de supervivencia). Además genera una tabla de valores a lo largo de un barrido de puntos \(x\) para que puedas representar gráficamente la función elegida.
Cómo utilizarla
Elige qué función quieres evaluar (densidad \(f\), acumulada inferior \(P\) o acumulada superior \(Q\)). Introduce los límites del intervalo \(a\) y \(b\) (con \(a < b\)). A continuación, configura el barrido: el valor inicial de \(x\), el incremento (paso) que se suma en cada iteración y el número de repeticiones (cuántos puntos \(x\) se van a generar). El cuadro de resultados muestra el valor de la función en el punto medio de \([a, b]\), y la tabla recoge cada par \((x, \text{valor})\) a lo largo del barrido.
La fórmula explicada
Sea la anchura \(w = b - a\). La densidad es constante dentro del soporte: \(f(x) = 1/w\) para \(a \le x \le b\), y \(0\) fuera de ese rango. $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a}, & a \le x \le b \\[0.6em] 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ La probabilidad acumulada inferior va sumando área desde \(a\): \(P(x) = (x - a)/w\), acotada a \(0\) por debajo de \(a\) y a \(1\) por encima de \(b\). $$P(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\[0.6em] \dfrac{x - a}{b - a}, & a \le x \le b \\[0.6em] 1, & x > b \end{cases}$$ La probabilidad acumulada superior es el complemento, \(Q(x) = (b - x)/w\), acotada a \(1\) por debajo de \(a\) y a \(0\) por encima de \(b\). $$Q(x) = \begin{cases} 1, & x < a \\[0.6em] \dfrac{b - x}{b - a}, & a \le x \le b \\[0.6em] 0, & x > b \end{cases}$$ Como entre ambas cubren toda la densidad, se cumple \(P(x) + Q(x) = 1\) en todos los puntos. La calculadora protege frente al caso degenerado en el que \(a = b\) (anchura cero), que provocaría una división por cero.
Ejemplo resuelto
Con \(a = 2\) y \(b = 8\), la anchura es \(w = 6\). En \(x = 5\) (el punto medio): $$f(5) = \frac{1}{6} \approx 0{,}16667, \quad P(5) = \frac{5 - 2}{6} = 0{,}5, \quad Q(5) = \frac{8 - 5}{6} = 0{,}5$$ lo que confirma que \(P + Q = 1\). En \(x = 0\) (por debajo de \(a\)), la densidad es \(0\), \(P = 0\) y \(Q = 1\). En \(x = 8\) (el extremo superior), \(P = 1\) y \(Q = 0\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué la densidad puede ser mayor que 1? La densidad no es una probabilidad, sino probabilidad por unidad de longitud. En un intervalo estrecho, \(1/(b - a)\) puede superar el valor \(1\) aunque el área total bajo la curva siga siendo igual a \(1\).
¿Qué ocurre si a es igual a b? La anchura es cero, por lo que la densidad queda indefinida (infinita) y las funciones acumuladas se convierten en un escalón. La calculadora lo señala como entrada no válida.
¿Puede el paso ser negativo? Sí. Un incremento negativo genera un barrido descendente; las fórmulas siguen acotando correctamente los valores fuera de \([a, b]\).
