¿Qué es la distribución log-normal?
Una variable aleatoria positiva X sigue una distribución log-normal cuando su logaritmo natural ln(X) se distribuye de forma normal. Dicho de otro modo, \(X = e^Y\), donde Y es Normal con media mu y desviación típica sigma. Como los logaritmos solo están definidos para valores positivos, la distribución log-normal vive enteramente en los números reales positivos, lo que la convierte en un modelo natural para magnitudes que no pueden ser negativas: precios de acciones, ingresos, tamaños de partículas, mediciones biológicas y tiempos hasta el fallo.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el valor x en el que quieres evaluar la distribución (debe ser mayor que 0) y, a continuación, indica mu y sigma. Un detalle clave que suele despistar a los principiantes: aquí mu y sigma son la media y la desviación típica de ln(X), no de X. La calculadora devuelve tres resultados: la densidad de probabilidad f(x), la probabilidad acumulada inferior \(P(x) = P(X \le x)\) y la probabilidad acumulada superior \(Q(x) = P(X > x) = 1 - P(x)\).
La fórmula explicada
Definimos la puntuación tipificada \(z = (\ln x - \mu) / \sigma\). La densidad es $$f(x) = \frac{1}{\text{x}\;\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{\left(\ln \text{x} - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}\right)$$ La probabilidad acumulada inferior es \(P(x) = \Phi(z)\), donde \(\Phi\) es la función de distribución acumulada normal estándar, $$\Phi(z) = 0{,}5 \cdot \left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)$$ Como la función erf no está incluida en las bibliotecas matemáticas estándar, esta herramienta emplea la aproximación polinómica 7.1.26 de Abramowitz & Stegun, con una precisión de aproximadamente \(1{,}5 \times 10^{-7}\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x = 2\), \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\). Entonces \(\ln(2) = 0{,}693147\) y \(z = 0{,}693147\). La densidad es \(f(2)\) = el término exponencial 0,786429 dividido entre 5,013256, lo que da alrededor de \(0{,}156874\). La probabilidad acumulada inferior es \(\Phi(0{,}693147) \approx 0{,}755891\), de modo que la acumulada superior es \(Q(2) = 1 - 0{,}755891 \approx 0{,}244109\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué x debe ser positivo? La distribución log-normal solo está definida para \(x > 0\), porque ln(x) no existe en caso contrario. Para \(x \le 0\) la densidad es 0, \(P(x) = 0\) y \(Q(x) = 1\).
¿Cómo obtengo la media de la propia X? La media de X es \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\), la mediana es \(\exp(\mu)\) y la moda es \(\exp(\mu - \sigma^2)\). Ten en cuenta que estos valores difieren de mu y sigma, que describen a ln(X).
¿Qué ocurre si sigma vale 0? Una desviación típica nula produce una masa puntual degenerada y provoca una división por cero, por lo que no se admite; en su lugar, usa un sigma positivo pequeño.
