Qué hace esta calculadora
La distribución normal estándar N(0,1) es la campana de Gauss con media 0 y desviación típica 1. A partir de un punto x (también llamado puntuación z), esta calculadora devuelve cuatro valores: la densidad de probabilidad en x, la probabilidad acumulada inferior P(X ≤ x), la probabilidad acumulada superior P(X ≥ x) y la probabilidad bilateral interior P(−|x| ≤ X ≤ |x|). Funciona con cualquier número real x, ya sea positivo, negativo o cero.
Cómo usarla
Introduce un valor para x y lee los resultados. Por ejemplo, x = 1 corresponde a una desviación típica por encima de la media; x = 1,96 es el clásico punto de corte para un intervalo de confianza del 95%. La herramienta no necesita unidades, porque la variable normal estándar es adimensional.
Las fórmulas explicadas
La densidad es $$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^{2}/2}$$ donde \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}3989423\). La función de distribución acumulada inferior es $$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[\,1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ que emplea la función de error de Gauss erf. La cola superior es \(Q(x) = 1 - \Phi(x)\), y la probabilidad interior es \(I(x) = \operatorname{erf}(|x|/\sqrt{2}) = 2\Phi(|x|) - 1\). Como las bibliotecas matemáticas básicas no incluyen erf, la evaluamos con la aproximación racional 7.1.26 de Abramowitz y Stegun (error máximo de aproximadamente \(1{,}5\times10^{-7}\)), que ofrece una precisión de unos seis decimales para mostrar los resultados.
Ejemplo resuelto
Para x = 1: $$\varphi(1) = 0{,}3989423 \times e^{-0{,}5} \approx 0{,}2419707$$ \(\operatorname{erf}(0{,}7071068) \approx 0{,}6826895\), de modo que \(\Phi(1) \approx 0{,}8413447\), lo que da una cola superior de 0,1586553 y una probabilidad interior de 0,6826895: la conocida regla de que «el 68% de los valores se encuentran dentro de ±1 desviación típica».
Preguntas frecuentes
¿Qué es una puntuación z? Es el número de desviaciones típicas que un valor se aleja de la media. En la distribución normal estándar, el valor y su puntuación z coinciden.
¿Por qué la probabilidad interior usa |x|? La región bilateral es simétrica respecto a cero, así que un x negativo da la misma probabilidad interior que su equivalente positivo.
¿Cómo de precisos son los resultados? La aproximación de la función de error es exacta hasta unos seis decimales, más que suficiente para el trabajo estadístico habitual.
