Calculadora de la distribución normal bivariante estándar

Upper cumulative probability Q(x, y, ρ)	0,022035922476
Significado	P(U1 > x and U2 > y)

Qué hace esta calculadora

Esta herramienta evalúa la distribución normal bivariante estándar, una gaussiana bidimensional con medias nulas, varianzas unitarias en ambos ejes y un único parámetro libre: el coeficiente de correlación ρ. Dado un punto $(x, y)$, devuelve dos valores: la densidad de probabilidad conjunta $f(x, y, \rho)$ en ese punto y la probabilidad acumulada de cola superior (orthante) $Q(x, y, \rho) = P(U_1 > x \text{ Y } U_2 > y)$. Como todas las entradas son ya puntuaciones estandarizadas y adimensionales, la calculadora es universal y no necesita conversión de unidades.

Superficie 3D acampanada de una densidad normal bivariada sobre el plano x-y — La densidad conjunta $f(x,y)$ forma una superficie acampanada sobre el plano x-y.

Cómo usarla

Introduce el punto percentil x, el punto percentil y y la correlación ρ. Aquí "punto percentil" se refiere a un umbral estandarizado tipo z (una coordenada), no a un percentil entre 0 y 1. La correlación debe cumplir $-1 < \rho < 1$; los valores $\pm 1$ se rechazan porque la densidad se vuelve singular (división por cero en $\sqrt{1-\rho^{2}}$).

Las fórmulas explicadas

La densidad es la gaussiana en forma cerrada mostrada arriba.

$$\varphi(x,y;\rho) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^{2}}}\,\exp\!\left(-\frac{x^{2}-2\rho\,x\,y+y^{2}}{2\left(1-\rho^{2}\right)}\right)$$

La probabilidad del orthante emplea la identidad de Sheppard: cuando ρ = 0 las variables son independientes y $Q = Q_1(x)\cdot Q_1(y)$, donde $Q_1(t)$ es la función univariante de cola superior de la normal estándar. Para ρ distinto de cero se añade una integral de corrección de 0 a ρ, evaluada aquí mediante cuadratura de Gauss–Legendre de 24 nodos para garantizar la precisión.

$$\begin{gathered} Q(x,y;\rho) = Q_1(x)\,Q_1(y) + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\rho}\frac{\exp\!\left(-\dfrac{x^{2}-2r\,x\,y+y^{2}}{2(1-r^{2})}\right)}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x &= \text{Percentile point x} \\ y &= \text{Percentile point y} \\ \rho &= \text{Correlation }\rho \\ Q_1(t) &= \tfrac{1}{2}\,\operatorname{erfc}\!\left(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\right) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

Tres gráficos de contorno que muestran elipses circulares, inclinadas positivamente e inclinadas negativamente para distintas correlaciones — Los contornos elípticos de densidad rotan con la correlación rho: circulares cuando rho=0, inclinados para rho positiva o negativa.

Ejemplo resuelto

Para $x = 2$, $y = 0{,}7$, $\rho = 0{,}8$: $1 - \rho^{2} = 0{,}36$, $\sqrt{\,} = 0{,}6$, factor previo $= 1/(2\pi\cdot 0{,}6) = 0{,}265258$. Numerador del exponente $= 4 - 2\cdot 0{,}8\cdot 2\cdot 0{,}7 + 0{,}49 = 2{,}25$, dividido entre $0{,}72$ da $3{,}125$. Así que $f = 0{,}265258 \cdot e^{-3{,}125} \approx 0{,}011655$. La probabilidad superior $Q \approx 0{,}0212$ — mayor que el valor de independencia $0{,}0055$, porque la correlación positiva empuja ambas variables hacia arriba a la vez.

Cómo la correlación cambia la probabilidad del ortante

La probabilidad del ortante $Q(x,y;\rho)=P(U_1>x,\,U_2>y)$ mide la probabilidad de que dos variables normales estándar simultáneamente superen sus umbrales. Manteniendo los puntos de corte fijos en $x=1$ y $y=1$ y variando la correlación $\rho$ aísla el efecto puro de la dependencia. Cuando $\rho=0$ las variables son independientes y $Q$ se factoriza en el producto de las dos colas superiores univariadas, $Q_1(x)\,Q_1(y)$. Para una normal estándar, $Q_1(1)=P(U>1)\approx 0.158655$, por lo que el punto de referencia de la independencia es $0.158655^2\approx 0.025172$.

$\rho$	Densidad $f(1,1;\rho)$	Ortante $Q(1,1;\rho)$	Independencia $Q_1(1)Q_1(1)$
$-0.8$	0.0476	0.0049	0.0252
$-0.4$	0.0780	0.0145	0.0252
$0$	0.0585	0.0252	0.0252
$0.4$	0.1063	0.0438	0.0252
$0.8$	0.2643	0.0826	0.0252

El patrón es monótono: la correlación positiva hace que la excedencia conjunta sea más probable (los valores grandes tienden a ocurrir juntos), por lo que $Q$ se eleva por encima del valor de independencia; la correlación negativa tira de las dos variables en direcciones opuestas, por lo que la excedencia conjunta se vuelve más rara y $Q$ cae por debajo de $Q_1 Q_1$. En $\rho=0$ la probabilidad del ortante es exactamente igual al producto $0.0252$, confirmando la factorización de independencia.

Interpretación de la densidad y la probabilidad del ortante

La densidad $f$ no es una probabilidad. El valor $\varphi(x,y;\rho)$ es una densidad de probabilidad por unidad de área en el plano $(x,y)$; solo su integral sobre una región devuelve una probabilidad. La superficie alcanza su máximo en el origen $(0,0)$, donde el término exponencial es igual a 1 y

$$f(0,0;\rho)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^{2}}}.$$

Para $\rho=0$ este pico es $1/(2\pi)\approx 0.159$, cómodamente por debajo de 1. Cuando $\rho\to\pm 1$ el factor $1/\sqrt{1-\rho^2}$ diverge, por lo que la densidad máxima puede exceder 1 — eso es normal para una densidad, ya que concentra la masa de probabilidad en la línea $y=\rho x$.

La probabilidad del ortante $Q$ es una probabilidad genuina y siempre se encuentra en $[0,1]$. Es el volumen bajo la superficie de densidad sobre el cuadrante $\{U_1>x,\,U_2>y\}$. Hechos estructurales útiles:

Independencia ($\rho=0$): $Q(x,y;0)=Q_1(x)\,Q_1(y)$, el producto de las dos colas superiores univariadas.
Simetría en los argumentos: intercambiando los papeles de las dos coordenadas, $Q(x,y;\rho)=Q(y,x;\rho)$.
Identidad de reflexión: $Q(-x,-y;\rho)=Q(x,y;\rho)+ \Phi(-x)+\Phi(-y)-1$ (expresable equivalentemente a través de la función de distribución acumulada bivariada), e invertir el signo de un argumento invierte la correlación efectiva: \(P(U_1>x,\,U_2
Comportamiento límite $\rho\to 1^{-}$: las variables se vuelven perfectamente comonótonas, $U_2\approx U_1$, por lo que $Q(x,y;\rho)\to Q_1(\max(x,y))$ — ambas excedencias coinciden.
Comportamiento límite $\rho\to -1^{+}$: las variables se vuelven perfectamente contramonótonas, $U_2\approx -U_1$. La excedencia superior conjunta es entonces posible solo cuando ambos umbrales pueden superarse simultáneamente, dando $Q\to\max\!\big(0,\;1-\Phi(x)-\Phi(y)\big)$, que es 0 cada vez que $x+y\ge 0$.

Dado que no hay forma cerrada para $Q$ con $\rho$ general, se evalúa numéricamente — típicamente a través de la función T de Owen o una integral unidimensional sobre $\rho$ usando cuadratura de Gauss–Legendre, ambas de las cuales reproducen los valores mostrados en la tabla de comparación con alta precisión.

Definiciones y glosario

Puntuación estandarizada ($x$, $y$): Una coordenada similar a z que mide cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor de su media. Los valores de entrada $x$ e $y$ ya están estandarizados, por lo que cada uno sigue marginalmente la distribución normal estándar $N(0,1)$.
Coeficiente de correlación $\rho$: La correlación lineal (Pearson) entre las dos variables normales estándar, con $-1<\rho<1$. Es el único parámetro que rige cuán fuertemente se mueven juntas las dos coordenadas; $\rho=0$ significa independencia aquí, mientras que $\rho\to\pm1$ significa una relación lineal casi determinista. Un $\rho$ observado puede estimarse a partir de datos apareados con una calculadora de correlación de Pearson.
Densidad conjunta $f(x,y;\rho)$: La densidad de probabilidad normal bivariada estándar, $\varphi(x,y;\rho)=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\!\left(-\dfrac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-\rho^2)}\right)$. Describe la probabilidad por unidad de área, no una probabilidad en sí misma.
Probabilidad del ortante $Q(x,y;\rho)$: La probabilidad conjunta de la cola superior $P(U_1>x,\,U_2>y)$ — el volumen bajo la superficie de densidad sobre el cuadrante superior derecho definido por los dos umbrales. Siempre entre 0 y 1.
Cola superior univariada $Q_1(t)$: La función de supervivencia normal estándar $Q_1(t)=P(U>t)=1-\Phi(t)$, el área en la cola derecha más allá de $t$. Por ejemplo $Q_1(1)\approx 0.1587$. En $\rho=0$, $Q=Q_1(x)Q_1(y)$.
Función de error complementaria ($\operatorname{erfc}$): Una función especial relacionada con la cola normal por $Q_1(t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{erfc}\!\left(t/\sqrt{2}\right)$. Proporciona una manera numéricamente estable de calcular las probabilidades de cola univariadas utilizadas en $Q$.
Cuadratura de Gauss–Legendre: Un esquema de integración numérica que aproxima una integral definida por una suma ponderada del integrando en nodos elegidos óptimamente. Dado que $Q(x,y;\rho)$ no tiene forma cerrada elemental, comúnmente se evalúa integrando la densidad (o una función de $\rho$) con este método para obtener resultados precisos.

Preguntas frecuentes

¿Por qué ρ no puede valer exactamente 1? En $\rho = \pm 1$ las dos variables son perfectamente dependientes y la distribución se reduce a una línea; la densidad no tiene un valor finito fuera de esa línea.

¿Qué representa Q? Es la masa de probabilidad en el "orthante" superior derecho, más allá de ambos umbrales: $P(U_1 > x, U_2 > y)$.

¿Qué ocurre con valores grandes de x o y? La densidad decae hacia 0 y $Q$ se aproxima a 0, ya que es cada vez más improbable que ambas variables estandarizadas superen umbrales positivos elevados.